[tex]\binom{4}{4}+\binom{6}{4}+\cdots+\binom{204}{4}[/tex]

Conteggi, probabilità, invarianti, logica, matematizzazione, ...
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alceus
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[tex]\binom{4}{4}+\binom{6}{4}+\cdots+\binom{204}{4}[/tex]

Messaggio da alceus » 17 apr 2014, 00:45

Dalla "Quarta Disfida Matematica Urbi et Orbi":

$ \textrm{Trovare il risultato della somma:}\\\displaystyle \binom{4}{4}+\binom{6}{4}+\binom{8}{4}+\binom{10}{4}+\cdots+\binom{202}{4}+\binom{204}{4}. $

Il risultato è richiesto modulo $ 10000 $.

Posto di seguito la mia soluzione, per confrontare e per chiedere se esistono strade più brevi o scorciatoie per i calcoli, che sono comunque lunghetti...
Testo nascosto:
Chiamo $ x $ il risultato richiesto. Poichè per la nota identità $ \binom{4}{4}+\binom{5}{4}+\binom{6}{4}+\cdots+\binom{203}{4}+\binom{204}{4}+\binom{205}{4}=\binom{206}{5} $, definisco $ a=\binom{5}{4}+\binom{7}{4}+\cdots+\binom{203}{4}+\binom{205}{4} $, da cui $ x+a=\binom{206}{5} $. Poichè vale $ \binom{5}{4}=\binom{4}{3}+\binom{4}{4}, \binom{7}{4}=\binom{6}{3}+\binom{6}{4} $, ecc., vale anche $ a=x+y $, definito un opportuno $ y=\binom{4}{3}+\binom{6}{3}+\cdots+\binom{202}{3}+\binom{204}{3} $.
Come per $ x $, e aiutandoci col triangolo di Tartaglia per escludere le righe non comprese, definiamo $ b $ t.c. $ y+b=\binom{206}{4}-1 $, cioè $ b=\binom{5}{3}+\binom{7}{3}+\cdots+\binom{203}{3}+\binom{205}{3} $. Proseguiamo allo stesso modo definendo $ z=\binom{4}{2}+\binom{6}{2}+\cdots+\binom{202}{2}+\binom{204}{2} $ t.c. $ b=y+z $, $ c=\binom{5}{2}+\binom{7}{2}+\cdots+\binom{203}{2}+\binom{205}{2} $ t.c. $ z+c=\binom{206}{3}-4 $ e $ g=\binom{4}{1}+\binom{6}{1}+\cdots+\binom{202}{1}+\binom{204}{1}=4+6+\cdots+204=102^2+102-2=10504 $, t.c. $ c=z+g $. Proseguendo a ritroso per sostituzione si ottiene $ x=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\binom{206}{5}-\frac{1}{4}\cdot\binom{206}{4}+\frac{1}{8}\cdot\binom{206}{3}-\frac{5253}{4}\equiv 2071 \pmod{10000} $
Grazie in anticipo a chi risponderà :)

Gottinger95
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Re: [tex]\binom{4}{4}+\binom{6}{4}+\cdots+\binom{204}{4}[/te

Messaggio da Gottinger95 » 18 apr 2014, 17:24

La soluzione di un esercizio simile (non ricordo se addirittura fosse proprio questo) che ci ha mostrato il professor Callegari era così, cioè con una ricorsione (schifosa, quindi senza una soluzione chiusa) a somme simili ma con sotto 3, 2, 1, .., quindi visto che gli esercizi li ha proposti (penso) lui credo sia la più breve :)
\( \displaystyle \sigma(A,G) \ \ = \sum_{Y \in \mathscr{P}(A) } \dot{\chi_{|G|} } (Y) \) bum babe

alceus
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Re: [tex]\binom{4}{4}+\binom{6}{4}+\cdots+\binom{204}{4}[/te

Messaggio da alceus » 18 apr 2014, 19:21

Gottinger95 ha scritto:La soluzione di un esercizio simile (non ricordo se addirittura fosse proprio questo) che ci ha mostrato il professor Callegari era così, cioè con una ricorsione (schifosa, quindi senza una soluzione chiusa) a somme simili ma con sotto 3, 2, 1, .., quindi visto che gli esercizi li ha proposti (penso) lui credo sia la più breve :)
Ok grazie! :D
ps. scusa la domanda indiscreta, ma quando dici "ci ha mostrato" intendi durante qualche senior, o in qualche lezione che posso trovare online?

matpro98
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Re: [tex]\binom{4}{4}+\binom{6}{4}+\cdots+\binom{204}{4}[/te

Messaggio da matpro98 » 18 apr 2014, 21:30

Tra i video di quest'anno, questo non c'è online... il 22 mi pare che esca l'altro, quindi spero per te che sia questo ;)

Gottinger95
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Re: [tex]\binom{4}{4}+\binom{6}{4}+\cdots+\binom{204}{4}[/te

Messaggio da Gottinger95 » 21 apr 2014, 19:27

A noi li ha spiegati alla fine dell'esercitazione, perchè stava lì... credo lo abbia caricato qui da qualche parte (http://www.problemisvolti.it/CorsoBaseO ... atica.html)! In ogni caso lì trovi tutte le tecniche per risolvere (almeno) i problemi che propone lui (così disse).
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elianto84
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Re: [tex]\binom{4}{4}+\binom{6}{4}+\cdots+\binom{204}{4}[/te

Messaggio da elianto84 » 22 apr 2014, 01:34

Dopo secoli di inattività su questo forum, torno a farmi vivo. Salve :D
Consideriamo il polinomio:
$$ p(x) = x^4 + x^6 + \ldots + x^{204} = \frac{x^{206}-x^4}{x^2-1}. $$
Cosa accade derivando quattro volte $p(x)$, valutando l'espressione ottenuta in $1$ e dividendo per $24$? Beh, che otteniamo proprio la nostra somma.
Dato che $p(x)=q(x^2)$, dove $q(x)=\frac{x^{103}-x^2}{x-1}$, e che:
$$ \frac{d^4}{dx^4} q(x^2) = 12\cdot q^{(2)}(x^2) + 48\cdot x^2 q^{(3)}(x^2) + 16\cdot x^4 q^{(4)}(x^2) $$
per la regola di derivazione di funzioni composte ripetutamente applicata con grande pazienza, quello che ci occorre e basta sapere sono la derivata seconda, terza e quarta di $q(x)$ nel punto $x=1$. Per comodità, scriviamo:
$$ q(x) = \frac{x^{103}-1}{x-1}-\frac{x^2-1}{x-1} = \frac{x^{103}-1}{x-1}-(x+1). $$
Scrivendo ora $x$ come $1+(x-1)$, abbiamo che vale l'identità:
$$ q(x) = -(x+1) + \sum_{j=0}^{102}\binom{103}{j+1}(x-1)^{j}, $$
che ci comunica immediatamente quali sono i valori della derivata seconda, terza e quarta di $q(x)$ nel punto $x=1$: questi sono, rispettivamente, $2\cdot\binom{103}{3},6\cdot\binom{103}{4},24\cdot\binom{103}{5}$. Ricomponendo i pezzi abbiamo allora che la somma di partenza vale:
$$\binom{103}{3}+12\cdot\binom{103}{4}+16\cdot\binom{103}{5} = (1+12\cdot 25+16\cdot 495)\binom{103}{3}=8221\binom{103}{3}, $$
le cui ultime $4$ cifre decimali (ammesso che non mi sia impegolato da qualche parte) sono $2071$.
Jack alias elianto84 alias jack202

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Re: [tex]\binom{4}{4}+\binom{6}{4}+\cdots+\binom{204}{4}[/te

Messaggio da Gottinger95 » 22 apr 2014, 01:55

ma te sei un figo pazzesco
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Re: [tex]\binom{4}{4}+\binom{6}{4}+\cdots+\binom{204}{4}[/te

Messaggio da Drago96 » 22 apr 2014, 13:56

elianto84 ha scritto:Scrivendo ora $x$ come $1+(x-1)$, abbiamo che vale l'identità:
$$ q(x) = -(x+1) + \sum_{j=0}^{102}\binom{103}{j+1}(x-1)^{j}, $$
Mio dio che figo! :D
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Re: [tex]\binom{4}{4}+\binom{6}{4}+\cdots+\binom{204}{4}[/te

Messaggio da matematik » 24 apr 2014, 23:20

matpro98 ha scritto:Tra i video di quest'anno, questo non c'è online... il 22 mi pare che esca l'altro, quindi spero per te che sia questo ;)
ho linkato oggi il video con la soluzione a questa pagina:

http://www.problemisvolti.it/DisfidaMat ... tOrbi.html

Si tratta del problema 7 del 2014.
(comunque somiglia un po' alla prima soluzione postata qui nel forum, solo impostata in modo ricorsivo)

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