Quadrato coprimo

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Triarii
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Quadrato coprimo

Messaggio da Triarii » 03 apr 2014, 20:03

Abbiamo una tabella quadrata $10\times 10$, le cui caselle sono riempite con numeri che non sono maggiori di $10$. Due numeri che compaiono su caselle adiacenti sia per lati sia diagonalmente (quindi una casella centrale sarà considerata adiacente a $8$ caselle) sono fra loro coprimi. Mostrare che qualche numero compare nella tabella almeno $17$ volte.
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simone256
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Re: Quadrato coprimo

Messaggio da simone256 » 03 apr 2014, 22:08

Testo nascosto:
Pensiamo al quadrato come formato da $ 25 $ ($ 5 \times 5 $) quadrati $ 2 \times 2 $... Una normale scacchiera un po' più larga. In questi quadratini due per due ci sono $ 4 $ numeri coprimi fra loro a due a due, poiché tutte le caselle sono adiacenti a tutte le altre. Per pigeonhole quindi avremo un massimo di $ 25 $ numeri pari e un massimo di $ 25 $ numeri multipli di $ 3 $. Al minimo quindi ci saranno $ 50 $ numeri dispari non multipli di $ 3 $ ($ 1 $, $ 5 $, $ 7 $), ancora per pigeonhole segue la tesi.
$ \mbox{ }\mbox{ } $And God said : $ \displaystyle c^2 \mu_0 \varepsilon_0 =1 $,
and then there was light.


$ \mbox{ }\mbox{ } $Tsune ni shinen kufu seyo

Triarii
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Re: Quadrato coprimo

Messaggio da Triarii » 03 apr 2014, 22:41

Giusto :)
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