Scambio maglie tra 22 giocatori

[renato2784]

Posto il seguente esercizio che mi sta creando dei grattacapi:

Alla fine di una concitata finale, i 22 giocatori delle due squadre si scambiano le maglie , ognuno scegliendo a caso un giocatore tra gli altri 21 (cioè, lo scambio è reciproco e ogni giocatore scambia la la sua maglia una sola volta). Sia $X=\text{ numero di giocatori che dopo lo scambio indossano ancora la maglia della propria squadra}$. Calcolare:
1)$P(X=7)$
2)$P(X=6)$
3)$P(X=8)$

Io ho pensato che gli eventi $X=7$ e $X=6$ siano impossibili, per cui le rispettive probabilità sono $0$. Per il terzo caso opterei per calcolare la probabilità come numero dei casi favorevoli su numero dei casi possibili. Individuo come numero dei casi possibili il numero totale di coppie che possono formarsi, cioè $\binom{22}{2}$. A tal punto non riesco a determinare però il numero dei casi favorevoli..

[simone256]

Io ho pensato che gli eventi $X=7$ e $X=6$ siano impossibili, per cui le rispettive probabilità sono $0$.

Sicuro?
Per uno dei due non sono d'accordo... Poi magari sono nel torto!

[renato2784]

Credo di si. L'evento $X=7$ è ovviamente impossibile; l'evento $X=6$ richiede, per esempio, che 3 coppie della solita squadra si scambino la maglia. Dunque i rimanenti 5 giocatori di quella squadra scambiano la propria maglia con 5 dell'altra squadra. Ma adesso 6 giocatori di quest'ultima sono costretti a scambiarsi la maglia tra loro...

Per il punto 3) avete qualche spunto?

[Half95]

be visto che abbiamo otto giocatori che hanno la maglia della loro stessa squadra penso debbano essere 4 di una e 4 dell altra. Inizio col calcolare quante siano le possibili combinazioni di giocatori che si ritorvano ad avere la maglia della loro squadra:

prima squadra:$\binom{11}{7}$
seconda squadra:$\binom{11}{7}$

poi in ogni squadra i 4 giocatori possono essersi scambiati le maglie in $3$ modi.
Il resto dei giocatori (14 persone) può scambiarsi le maglie in $7!$ modi.

Quindi le combinazioni possibili sono: $3\binom{11}{7}3\binom{11}{7}7!$

Le combinazioni totali sono $11!$

il risultato è: $\frac{3\binom{11}{7}3\binom{11}{7}7!}{11!}$

che semplificato dovrebbe risultare: $\frac{11}{448}$

non sono tanto sicuro però a guardare il risultato!!

[renato2784]

Credo di aver capito come fare sfruttando il suggerimento di Half95, in cui c'è qualche imprecisione.

Se al denominatore inserisco $22!$ significa che sto considerando come casi possibili tutte le sequenze ordinate di coppie, i cui componenti anche sono considerati ordinati. Quindi al numeratore necessito dei casi favorevoli in cui le coppie siano considerate ordinate. Dunque, considerando la squadra A, le coppie di giocatori che manterranno la maglia possono essere scelte in $11*10*9*8$ modi. Da qui, $(11*10*9*8)^2$, se consideriamo anche la squadra B. Le rimanenti coppie "eterogenee" possono essere formate in $2*7*7*2*6*6*2*5*5*..*2*2*2=2^7*(7!)^2$. Le 11 coppie così formate possono essere disposte in $11!/(2!2!7!)$ modi. Quindi,
\begin{equation}
P(X=8)=\frac{\frac{11!}{2!2!7!}(11*10*9*8)^2*(7!)^2*2^7}{22!}=0.3592
\end{equation}

[simone256]

Aaaaaah lo scambio è reciproco... Ops

[Half95]

Credo di aver capito come fare sfruttando il suggerimento di Half95, in cui c'è qualche imprecisione.

Se al denominatore inserisco $22!$ significa che sto considerando come casi possibili tutte le sequenze ordinate di coppie, i cui componenti anche sono considerati ordinati. Quindi al numeratore necessito dei casi favorevoli in cui le coppie siano considerate ordinate. Dunque, considerando la squadra A, le coppie di giocatori che manterranno la maglia possono essere scelte in $11*10*9*8$ modi. Da qui, $(11*10*9*8)^2$, se consideriamo anche la squadra B. Le rimanenti coppie "eterogenee" possono essere formate in $2*7*7*2*6*6*2*5*5*..*2*2*2=2^7*(7!)^2$. Le 11 coppie così formate possono essere disposte in $11!/(2!2!7!)$ modi. Quindi,
\begin{equation}
P(X=8)=\frac{\frac{11!}{2!2!7!}(11*10*9*8)^2*(7!)^2*2^7}{22!}=0.3592
\end{equation}

Ho modificato leggermente il mio post precedente! Però sinceramente non capisco molto cosa hai fatto!!
Ad esempio nello scegliere le 4 persone di una squadra che si scambiano le maglie tra loro non dovresti dividere per $4!$ nel momento in cui scegli l' ordine non conta... poi li puoi accoppiare in 3 modi diversi quindi avremo $3\binom{11}{7}$ può essere?
e poi per accoppiare i restanti 14 giocatori possiamo farlo in $7!$ e gli scambi totali sono $11!$

[renato2784]

Ad esempio nello scegliere le 4 persone di una squadra che si scambiano le maglie tra loro non dovresti dividere per $4!$ nel momento in cui scegli l' ordine non conta...

Infatti ho considerato rilevante l'ordine. Proviamo allora a prendere in considerazione coppie non ordinate, i cui componenti anche sono considerati non ordinati.
Casi possibili:
\begin{equation}
\frac{\binom{22}{2}\binom{20}{2}\cdots\binom{2}{2}}{11!}=\frac{22!}{2^{11}11!}
\end{equation}
Passiamo ora ai casi favorevoli. I 4 giocatori di ogni squadra che si scambiano le maglie formano $\binom{4}{2}\binom{2}{2}/2!$ coppie non ordinate. Questi 4 giocatori sono scelti in $\binom{11}{4}$ modi. I rimanenti 14 giocatori (7 per ogni squadra) possono formare $7*7*6*6*5*5\cdots*2*2*1*1/7!=7!$ coppie non ordinate. Dunque, i casi favorevoli sono:
\begin{equation}
\left[\binom{11}{4}\binom{4}{2}\binom{2}{2}/2!\right]^27!
\end{equation}

Da qui,
\begin{equation}
\frac{\text{casi favorevoli}}{\text{casi possibili}}=0.3592
\end{equation}