39. $2014$ interi su una ciconferenza

[Lasker]

È possibile sistemare $2014$ interi (non necessariamente distinti) intorno ad una circonferenza in modo tale che le differenze positive tra coppie di numeri adiacenti formino proprio $2014$ interi consecutivi (non necessariamente ordinati)?

[Triarii]

Supponiamo esista tale configurazione. Denotiamo con $S(2014)$ la somma di tutte le differenze positive di 2 vertici adiacenti.Siano $a_1$ e $a_{2014}$ le differenze minima e massima. Vale $S(2014)=\dfrac {(a_1+a_{2014})\cdot 2014} {2}=(a_1+a_{2014})\cdot 1007\equiv 1\pmod 2$ ($a_1$ e $a_{2014}$ hanno diversa parità)
Notiamo ora che presi 3 numeri $x_{i-1}, x_i, x_{i+1}$ su vertici adiacenti, esistono 3 possibilità: $x_i$ è il massimo fra i 3, $x_i$ è il minimo, oppure $x_i$ è il valore intermedio fra gli altri 2. Se andiamo ad analizzare la somma delle differenze dei vertici consecutivi con sopra scritti i 3 numeri, notiamo le seguenti:
1) se $x_i$ è un massimo le differenze sono $x_i-x{i-1}$ e $x_i-x_{i+1}$, pertanto nella somma $x_i$ (e quindi tutti gli altri massimi) compaiono 2 volte.
2) se $x_i$ è un minimo, analogamente nella somma delle differenze $x_i$ compare 2 volte, ma col segno negativo
3) se $x_i$ è un valore intermedio, questo non compare nella somma delle differenze perchè si va a semplificare ($x_{i+1}-x_i+x_i-x_{i-1}$ ad esempio)
Il ragionamento è valido anche se 2 numeri su vertici adiacenti non sono distinti: infatti comunque sia il numero "centrale" compare o 2 o 0 volte nella somma, considerando anche il suo gemello adiacente.
Se svolgiamo tutta la somma, denotando con $M$ la somma dei vari massimi e con $m$ la somma dei vari minimi, otteniamo $S(2014)=2M-2m=2(M-m)\equiv 0 \pmod 2$.
Ma questo è in contraddizione con quanto detto all'inizio, quindi tale configurazione non può esistere

[Lasker]

Mi sembra corretta, procedi pure con il prossimo