OliForum Matematico

Sul treno Milano-Pisa uno stagista si sta appisolando guardando la neve fuori dal finestrino sotto le note di Tuesday's Gone, quando ad un tratto vede su una collina un lungo animale feroce, con un muso simpatico e $ k $ piedi. La giornata è molto fredda e lo stagista riesce a vedere che per ogni piede l'animale indossa $ n $ calzettoni di lana numerati da $ 1 $ a $ n $ dall'interno verso l'esterno.
Sapendo quindi che l'animale possiede $ k $ calze per ogni tipo (tipo $ 1 $, tipo $ 2 $ , ... , tipo $ n $ ) e che due calze dello stesso tipo sono indistinguibili, assecondando la necessità del $ k $-piedi di mettersi le calze nell'ordine da $ 1 $ a $ n $ su ogni piede; in quanti modi diversi può essersi vestito stamattina il $ k $-piedi? (con modi si intende l'ordine con cui si è messo le calze, notando che su uno stesso piede le calze devono per forza essere messe in ordine crescente).

Problema forse noto o forse noioso... Spero anche di non aver sbagliato i conti

Per essere un animale feroce , mi sembra un po' troppo freddoloso

( P.S.: Ma se l'ordine deve essere per forza crescente, in ogni piede la calza esterna è quella tipo-n ; forse intendevi in ordine "circolare" ? )

NOTA: non sono sicuro di aver interpretato bene il problema, infatti non capisco la frase "Problema forse noto o forse noioso... Spero anche di non aver sbagliato i conti", visto che non uso praticamente nessun calcolo (al limite gli errori sono concettuali ).

Sia $a_i, i\in \left\{1,2,...,k\right\}$ l'azione di mettere un calzino sull' $i$-esimo piede del $k$-piedi. Chiaramente, al momento di compiere l'azione $a_i$, la scelta del calzino da mettere è già predeterminata. Dunque, visto che valutare tutte le possibili successioni di $n$ azioni $a_i$ è del tutto equivalente a fare gli anagrammi della parola:
$$\underbrace{a_1a_1a_1...}_n \underbrace{a_2a_2a_2...}_n\cdot\cdot\cdot\underbrace{a_ka_ka_k...}_n$$
La nostra risposta dovrebbe essere:
$$S=\frac{(kn)!}{(n!)^k}$$

Lasker ha scritto:NOTA: non sono sicuro di aver interpretato bene il problema, infatti non capisco la frase "Problema forse noto o forse noioso... Spero anche di non aver sbagliato i conti", visto che non uso praticamente nessun calcolo (al limite gli errori sono concettuali ).

Sia $a_i, i\in \left\{1,2,...,k\right\}$ l'azione di mettere un calzino sull' $i$-esimo piede del $k$-piedi. Chiaramente, al momento di compiere l'azione $a_i$, la scelta del calzino da mettere è già predeterminata. Dunque, visto che valutare tutte le possibili successioni di $n$ azioni $a_i$ è del tutto equivalente a fare gli anagrammi della parola:
$$\underbrace{a_1a_1a_1...}_n \underbrace{a_2a_2a_2...}_n\cdot\cdot\cdot\underbrace{a_ka_ka_k...}_n$$
La nostra risposta dovrebbe essere:
$$S=\frac{(kn)!}{(n!)^k}$$

A mio avviso non è corretto in quanto non è detto che il k-piedi abbia solamente la possibilità di mettere prima tutti i calzini numero $1$ poi $2$ ecc. fino ai $k$ calzini. Potrebbe anche decidere di mettere prima tutti i calzini ad un piede poi tutti ad un altro poi mettere i primi $3$ calzini ad un terzo piede poi $5$ al successivo per poi tornare a rimettere i restanti $n-5$ e $n-3$ calzini successivamente. Io ho interpretato il problema in questo modo e non penso di riuscire ad arrivare alla risposta perchè mi sembra veramente complicata

Lasker ha scritto:NOTA: non sono sicuro di aver interpretato bene il problema, infatti non capisco la frase "Problema forse noto o forse noioso... Spero anche di non aver sbagliato i conti", visto che non uso praticamente nessun calcolo (al limite gli errori sono concettuali ).

Sia $a_i, i\in \left\{1,2,...,k\right\}$ l'azione di mettere un calzino sull' $i$-esimo piede del $k$-piedi. Chiaramente, al momento di compiere l'azione $a_i$, la scelta del calzino da mettere è già predeterminata. Dunque, visto che valutare tutte le possibili successioni di $n$ azioni $a_i$ è del tutto equivalente a fare gli anagrammi della parola:
$$\underbrace{a_1a_1a_1...}_n \underbrace{a_2a_2a_2...}_n\cdot\cdot\cdot\underbrace{a_ka_ka_k...}_n$$
La nostra risposta dovrebbe essere:
$$S=\frac{(kn)!}{(n!)^k}$$

Se ho capito bene la risposta che hai proposto a mio avviso non è corretta, o almeno io ho interpretato il problema diversamente. Secondo me il k-piedi non ha solamente la possibilità di mettere prima tutti i calzini numero $1$ poi $2$ ecc. fino ai $k$ calzini. Potrebbe anche decidere di mettere prima tutti i calzini ad un piede poi tutti ad un altro poi mettere i primi $3$ calzini ad un terzo piede poi $5$ al successivo per poi tornare a rimettere i restanti $n-5$ e $n-3$ calzini successivamente. Inoltre con la tua risposta avresti contato anche il caso in cui prima si mette tutti i $k$ calzini poi magari i $2$ ecc. Non so se è corretto il modo in cui ho interpretato il problema ma se così fosse la risposta diventa assai più complicata e io non so affatto darla

Quello che intende dire Lasker è che il $ k-piede $ agisce esattamente $ n $ volte su ognuna delle $ k $ zampe.
Se chiamiamo $ a_i $ una azione del $ k-piede $ sulla $ i $-esima zampa, allora tutti i modi di vestirsi sono dati dagli anagrammi di una parola con $ n $ $ a_1 $, $ n $ $ a_2 $, $ n $ $ a_3 $,..., $ n $ $ a_k $:

$ \displaystyle \frac{(nk)!}{n! \cdot n! \cdot n! \cdot ... \cdot n!}=\frac{(nk)!}{(n!)^k} $

Ovviamente, ad esempio, il primo $ a_1 $ che trovi è "calzino 1 su zampa 1", il secondo è "calzino 2 su zampa 1", e via dicendo.

Gi. ha scritto:Quello che intende dire Lasker è che il $ k-piede $ agisce esattamente $ n $ volte su ognuna delle $ k $ zampe.
Se chiamiamo $ a_i $ una azione del $ k-piede $ sulla $ i $-esima zampa, allora tutti i modi di vestirsi sono dati dagli anagrammi di una parola con $ n $ $ a_1 $, $ n $ $ a_2 $, $ n $ $ a_3 $,..., $ n $ $ a_k $:

$ \displaystyle \frac{(nk)!}{n! \cdot n! \cdot n! \cdot ... \cdot n!}=\frac{(nk)!}{(n!)^k} $

Ovviamente, ad esempio, il primo $ a_1 $ che trovi è "calzino 1 su zampa 1", il secondo è "calzino 2 su zampa 1", e via dicendo.

Hai ragione, non avevo capito cosa intendeva dire. Ora che ho capito sono d' accordo con lui. Tra l' altro avevo scambiato k ed n e avevo fatto un pò di confusione.

Procedi pure con il prossimo