Scusate il ritardo, ma in questi giorni non ho proprio avuto la possibilità di accedere al forum.
Sui vertici di un $n$-agono abbiamo scritti i numeri reali $x_1, x_2,..., x_n$ ,uno per ogni vertice. Siano $a, b, c, d$ 4 numeri su vertici consecutivi (disposti in questo ordine).. Se $(a-d)(b-c)<0$ possiamo scambiare il posto di $b$ con $c$. Decidere se questa operazione di scambio può essere iterata all'infinito
37. Numeri su un $n$-agono
37. Numeri su un $n$-agono
"We' Inge!"
LTE4LYF
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Re: 37. Numeri su un $n$-agono
L'ennagono è finito vero?
Consideriamo la somma S di tutti i prodotti di coppie (ordinate) di numeri appartenenti a due vertici adiacenti ad uno stesso vertice. In parole povere: $ x_1x_{n-1}+x_1x_3+x_2x_n+x_2x_4+... $
$ \displaystyle S=\sum_{i=1}^n x_ix_{i+2}+x_ix_{i-2} $
Definiamo invece la somma T come:
$ \displaystyle T=\sum_{i=1}^n x_ix_{i+1}+x_ix_{i-1} $
Entrambe le somme sono finite poiché l'ennagono ha un numero finito di lati pertanto $ S-T $ assume per forza un valore finito
riscriviamo $ (a-d)(b-c)<0 $ come $ ab+dc<ac+bd $; se invertiamo $ b $ e $ c $ è come moltiplicare per meno la disuguaglianza iniziale e quindi cambiare successivamente l'ultima disuguaglianza in $ ab+dc>ac+bd $ (in questo caso $ b $ e $ c $ cambiano valore... Ossia $ b $ è il valore sul $ k $-esimo vertice... invertendolo con quello sul $ k+1 $-esimo automaticamente chiamiamo $ b $ quello che prima era $ c $).
Pertanto $ S-T $ aumenta ad ogni passaggio e se l'operazione fosse iterata all'infinito andremmo contro le ipotesi che l'ennagono sia finito poiché $ S-T $ tenderebbe all'infinito.
Consideriamo la somma S di tutti i prodotti di coppie (ordinate) di numeri appartenenti a due vertici adiacenti ad uno stesso vertice. In parole povere: $ x_1x_{n-1}+x_1x_3+x_2x_n+x_2x_4+... $
$ \displaystyle S=\sum_{i=1}^n x_ix_{i+2}+x_ix_{i-2} $
Definiamo invece la somma T come:
$ \displaystyle T=\sum_{i=1}^n x_ix_{i+1}+x_ix_{i-1} $
Entrambe le somme sono finite poiché l'ennagono ha un numero finito di lati pertanto $ S-T $ assume per forza un valore finito
riscriviamo $ (a-d)(b-c)<0 $ come $ ab+dc<ac+bd $; se invertiamo $ b $ e $ c $ è come moltiplicare per meno la disuguaglianza iniziale e quindi cambiare successivamente l'ultima disuguaglianza in $ ab+dc>ac+bd $ (in questo caso $ b $ e $ c $ cambiano valore... Ossia $ b $ è il valore sul $ k $-esimo vertice... invertendolo con quello sul $ k+1 $-esimo automaticamente chiamiamo $ b $ quello che prima era $ c $).
Pertanto $ S-T $ aumenta ad ogni passaggio e se l'operazione fosse iterata all'infinito andremmo contro le ipotesi che l'ennagono sia finito poiché $ S-T $ tenderebbe all'infinito.
$ \mbox{ }\mbox{ } $And God said : $ \displaystyle c^2 \mu_0 \varepsilon_0 =1 $,
and then there was light.
$ \mbox{ }\mbox{ } $Tsune ni shinen kufu seyo
and then there was light.
$ \mbox{ }\mbox{ } $Tsune ni shinen kufu seyo
