Permutazioni pari e residui quadratici

[Gottinger95]

Posto due lemmini carini e (forse) utili sul collegamento tra residui quadratici e parità di permutazioni (nonostante il titolo misterioso).
1. Dati \(a\) e \(p\) primo, dimostrare che la permutazione \(\sigma(x) = ax\), con \(\sigma: \mathbb{Z}_p \rightarrow \mathbb{Z}_p\), è pari se e solo se \(a\) è residuo quadratico \(\pmod{p}\).
2. Dati \(k\) e \(p\) primo con \((k,p-1) = 1\), dimostrare che la permutazione \(\sigma(x) = x^k\), con \(\sigma: \mathbb{Z}_p \rightarrow \mathbb{Z}_p\), è dispari se e solo se \(-1\) è residuo quadratico \(\pmod{pk}\).

[Troleito br00tal]

Sei sicuro del punto b? A me viene solo per $k \equiv 3 \pmod{4}$. Prova $k=5$ e $p=7$.

[Gottinger95]

Mmm, si, nella mia dimostrazione c'era una falla... work in progress per riaggiustarla, se arrivi a qualcosa per \(k,p\) in generale fai un fischio!

[Troleito br00tal]

Se $k \equiv 3 \pmod{4}$ è vero, altrimenti è vero il contrario. Fammi un fischio se vuoi la dimostrazione.

[Gottinger95]

L'ho editato secondo le tue considerations. Se vuoi postala, io ci penso un po' che sto provando un paio di strade diverse (cioè ho sempre la libertà di non leggere quello che scrivi )