36. Dammi che la metto nel cappello (emisferico)

[Gottinger95]

Prendiamo una curva \(\gamma\) chiusa, non intrecciata sulla superficie di una sfera di raggio 1. Sia \(\lambda\) la sua lunghezza.
Dimostrare che se \(\lambda < 2 \pi\), allora esiste un emisfero che contiene \(\gamma\).

(Dan Schwartz, Senior 2013)

[Triarii]

Idea balzana di mezzanotte, quindi temo sia incorretta
la tesi equivale a dimostrare che la curve che rispettano le ipotesi sono contenute in un rettangolo di dimensioni $\pi \cdot \pi$.
Fatto: la curva che a parità di $\lambda$ massimizza l'area è la circonferenza (il problema di Didone insomma). In questo caso si nota che l'area massima è $\pi$, quindi sicuramente l'area di $\gamma$ è minore dell'area del rettangolo di sopra. Bisogna ora dimostrare che la curva non può "sforare" da esso.
Si noti che se la tesi vale per le curve convesse, allora varrà anche per le concave con pari $\lambda$ :infatti posso trasformare le curve concave in convesse operando una simmetria nei punti di cambio di concavità e conservando $\lambda$; si noti che le nuove curve così ottenute hanno superficie maggiore e che quindi possono contenere la curve "vecchie". Quindi se la tesi vale per le convesse deve valere per le concave. Detto ciò, poniamoci su un piano cartesiano ortogonale $xOy$, e dfiniamo come assi di una curva le massime distanze fra 2 punti della curva sulle x e sulle y. La tesi quindi equivale a dire che entrambi gli assi sono minori di $\pi$ (per farla entrare nel rettangolo insomma). Il massimo asse si ha quandi $\gamma$ è un segmento ripiegato su se stesso lungo $\pi$ (e quindi in tutto $2\pi$) ed orientato lungo uno dei due assi, wlog x (che è contenuto nel rettangolo): meglio del segmento non si può fare (la strada più breve per collegare i 2 lati opposti del rettangolo è proprio il segmento, che per quanto detto non basta). Quindi poichè anche il caso estremo del segmento non oltrepassa i confini del rettangolo, anche le altre curve convesse non possono sforare, e quindi nemmeno le altre concave. Inoltre per quanto detto l'area massima è sempre contenuta dentro. Dunque la curva è sempre contenuta dentro al rettangolo e quindi, "trasportandolo" sulla superficie della sfera, la curva è contenuta nell'emisfera

[Gottinger95]

la tesi equivale a dimostrare che la curve che rispettano le ipotesi sono contenute in un rettangolo di dimensioni \(π⋅π\) [...]

Me ne sfugge il motivo...

[Triarii]

Dunque, provo a fare uno schema generale della dimostrazione, correggendo dei punti che avevo sbagliato sopra
Affinchè valga la tesi, devono valere 2 proprietà
1) La superficie di $\gamma$ deve essere minore di quella della emisfera, altrimenti non la può contenere per ovvi motivi. E questo lo sistemiamo col discorso del cerchio come curva che massimizza l'area e che per nostra fortuna rispetta la tesi.
2)La curva non deve oltrepassare i bordi dell'emisfera (abbiamo visto che la superficie di $\gamma$ è minore, tuttavia non è detto che non esca da questi), ossia non deve oltrepassare la congiungente 2 punti diametralmente opposti, lunghi $\pi$. E qui entra in gioco il discorso del segmento raddoppiato, che è la strada più breve per congiungere 2 punti opposti sulla curva semisfera, e che fortunatamente è anche lui contenuto

[Half95]

Dunque, provo a fare uno schema generale della dimostrazione, correggendo dei punti che avevo sbagliato sopra
Affinchè valga la tesi, devono valere 2 proprietà
1) La superficie di $\gamma$ deve essere minore di quella della emisfera, altrimenti non la può contenere per ovvi motivi. E questo lo sistemiamo col discorso del cerchio come curva che massimizza l'area e che per nostra fortuna rispetta la tesi.
2)La curva non deve oltrepassare i bordi dell'emisfera (abbiamo visto che la superficie di $\gamma$ è minore, tuttavia non è detto che non esca da questi), ossia non deve oltrepassare la congiungente 2 punti diametralmente opposti, lunghi $2\pi$. E qui entra in gioco il discorso del segmento raddoppiato, che è la strada più breve per congiungere 2 punti opposti sulla curva semisfera, e che fortunatamente è anche lui contenuto

non capisco una cosa... il punto 1 a cosa ci serve? non basta dimostrare il punto 2?
e perché i punti diametralmente opposti distano 2$ \pi $ e non $ \pi $ e basta?

[Triarii]

Per la tua prima domanda ho preferito la sicurezza, per la seconda è un typo

[Half95]

Per la tua prima domanda ho preferito la sicurezza, per la seconda è un typo

ok grazie

[karlosson_sul_tetto]

2)La curva non deve oltrepassare i bordi dell'emisfera (abbiamo visto che la superficie di $\gamma$ è minore, tuttavia non è detto che non esca da questi), ossia non deve oltrepassare la congiungente 2 punti diametralmente opposti, lunghi $\pi$. E qui entra in gioco il discorso del segmento raddoppiato, che è la strada più breve per congiungere 2 punti opposti sulla curva semisfera, e che fortunatamente è anche lui contenuto

Intendi "la base" dell'emisfera? oppure l'arco che passa per i due punti e per il "punto più alto"/è un cerchio maggiore della sfera? Essendo la lunghezza $pi$, immagino sia la seconda, ma non vedo perché $\gamma$ non debba attraversare quella linea (potrebbe essere una circonferenza parallela alla base dell'emisfera, in questo caso l'attraversa, oppure potrebbe essere una cosa strana in quel quarto di sfera)

[Triarii]

Mi sono spiegato molto male
1)Sì, la linea che considero è proprio quella che passa per il punto più alto.
2) Per oltrepassare intendevo che la sorpassa in lunghezza (è più lungo), non nel senso che la interseca. Provo a riformularlo meglio: nessuna curva ha un "asse" più lungo di $\pi,$ che si ottiene nel caso in cui la curva è un segmento ripiegato su se stesso (curva degenere). Quindi non supera il limite dell'arco massimo della semisfera e quindi questa può contenerla se opportunamente scelta

[Gottinger95]

Mi sembra dai tuoi post che consideri \(\gamma\) come una superficie, ma è una curva! Nel caso intendessi la superficie delimitata da \(\gamma\), quale delle 2 che la curva forma sulla sfera consideri? Evidentemente una avrà superficie maggiore di metà sfera, l'altra minore; quindi le tue argomentazioni sulle aree non mi sono ben chiare

[Triarii]

Sì, bon intendevo quella delimitata internamente (in pratica quella minore). A sto punto mi vferrebbe da dire quindi che l'area non è importante e che basta fare quel discorso sulla lunghezza

[Gottinger95]

Mi sfugge ancora quello che ti ho chiesto sopra, che se non ho capito male fa ancora parte della versione più aggiornata della dimostrazione

[Gottinger95]

Abbiamo chiarito in MP con Triarii, e nonostante la formalizzazione non sia chiarissima, dovrebbe funzione
Perciò, o tumultuoso eroe, ti cedo il testimone!