lenzuolo macchiato

Conteggi, probabilità, invarianti, logica, matematizzazione, ...
enrico_s
Messaggi: 36
Iscritto il: 02 lug 2013, 19:49

lenzuolo macchiato

Messaggio da enrico_s » 10 ott 2013, 21:45

Oggi ripensavo a un problema che avevo visto tempo fa, è molto semplice con l'idea giusta, credo che sia meglio lasciare la soluzione ai meno esperti :)

Ho un lenzuolo rettangolare di 5x8 metri. Per sbaglio verso del colore sopra e su di esso ci sono molte macchie . Dimostrare che comunque sia macchiato, posso prendere su di esso due punti distanti 1 metro che hanno lo stesso colore

Avatar utente
jordan
Messaggi: 3988
Iscritto il: 02 feb 2007, 21:19
Località: Pescara
Contatta:

Re: lenzuolo macchiato

Messaggio da jordan » 10 ott 2013, 22:04

Perchè 5x8 metri? xd
The only goal of science is the honor of the human spirit.

Avatar utente
Lasker
Messaggi: 433
Iscritto il: 02 mag 2013, 20:47
Località: Udine

Re: lenzuolo macchiato

Messaggio da Lasker » 10 ott 2013, 22:33

Visto che questa è la prima volta che scrivo in questa sezione, posso a buon diritto dire che il "meno esperto" mi si addice!
Testo nascosto:
basta prendere i tre vertici di un triangolo equilatero di lato $1$ metro; di questi per pigeonhole almeno due avranno lo stesso colore, e sono ovviamente tutti distanti $1$ metro fra loro :mrgreen:
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)

"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)

Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

enrico_s
Messaggi: 36
Iscritto il: 02 lug 2013, 19:49

Re: lenzuolo macchiato

Messaggio da enrico_s » 10 ott 2013, 23:16

Esattamente :)
5x8 perchè mi piacevano ahah serviva solo che fosse sufficientemente grande, non erano fondamentali le misure dei lati :D

Gi.
Messaggi: 153
Iscritto il: 18 dic 2012, 16:45

Re: lenzuolo macchiato

Messaggio da Gi. » 01 gen 2014, 09:09

Prendo un punto macchiato sul lenzuolo, da questo traccio una circonferenza di raggio 1 metro che lo ha per centro.
Se sulla circonferenza è presente un altro punto macchiato ho finito, se tutti i punti sono non macchiati ho ugualmente concluso.

Avatar utente
simone256
Messaggi: 452
Iscritto il: 07 mag 2012, 16:10
Località: Crema

Re: lenzuolo macchiato

Messaggio da simone256 » 04 gen 2014, 16:40

Gi. ha scritto:Prendo un punto macchiato sul lenzuolo, da questo traccio una circonferenza di raggio 1 metro che lo ha per centro.
Se sulla circonferenza è presente un altro punto macchiato ho finito, se tutti i punti sono non macchiati ho ugualmente concluso.
"The Art and Craft of Problem Solving" :)
$ \mbox{ }\mbox{ } $And God said : $ \displaystyle c^2 \mu_0 \varepsilon_0 =1 $,
and then there was light.


$ \mbox{ }\mbox{ } $Tsune ni shinen kufu seyo

Gi.
Messaggi: 153
Iscritto il: 18 dic 2012, 16:45

Re: lenzuolo macchiato

Messaggio da Gi. » 04 gen 2014, 17:24

Yep, sinceramente nonostante Zeitz abbia definito "migliore" il metodo che utilizza il pigeonhole io preferisco molto di più quello con la circonferenza (è semplicemente geniale) :lol:

Spero non pensiate che abbia riciclato la soluzione tanto per spiaccicarla qui e dire "so risolvere il problema", semplicemente mi è parsa interessante e ho deciso di condividerla :D

Avatar utente
simone256
Messaggi: 452
Iscritto il: 07 mag 2012, 16:10
Località: Crema

Re: lenzuolo macchiato

Messaggio da simone256 » 04 gen 2014, 19:07

Nono ma figurati ci manca, anzi alla fine cosa facciamo noi tutti quando risolviamo un problema se non riciclare idee provenienti da altri problemi o da esperienze quotidiane? (se esco con sta affermazione ora è solo colpa di filosofia e dei filosofi empiristi :lol:)
$ \mbox{ }\mbox{ } $And God said : $ \displaystyle c^2 \mu_0 \varepsilon_0 =1 $,
and then there was light.


$ \mbox{ }\mbox{ } $Tsune ni shinen kufu seyo

Triarii
Messaggi: 464
Iscritto il: 18 nov 2010, 21:14

Re: lenzuolo macchiato

Messaggio da Triarii » 04 gen 2014, 19:41

Via già che ci sono rilancio con un problemino simile e semplice: dimostrare che in un piano colorato con 2 colori esiste sempre (almeno) un triangolo equilatero aventi i vertici dello stesso colore
"We' Inge!"
LTE4LYF

Gi.
Messaggi: 153
Iscritto il: 18 dic 2012, 16:45

Re: lenzuolo macchiato

Messaggio da Gi. » 04 gen 2014, 20:14

L'esagono ha le diagonali tutte della stessa lunghezza [non proprio tutte, ma quelle usate da me (ossia quelle che sono anche diagonali dei rombi formati coi vari triangoli equilateri) dovrebbero esserlo].

Costruisco un'esagono regolare (indubbiamente posso): il centro è di uno dei due colori, WLOG è nero. Inoltre posso individuare sei triangoli equilateri. Nel caso di maggiore sfortuna non posso individuare all'esterno due punti consecutivi neri, ho dunque tre casi:

1) Tutti i punti esterni sono bianchi;

2) I punti esterni sono alternativamente bianchi e neri (uno bianco, uno nero, uno bianco, uno nero,...);

3) I punti esterni sono alternativamente due bianchi ed uno nero

Nei primi due casi concludo congiungendo le diagonali che uniscono tre punti bianchi.
Nell' ultimo caso almeno due punti neri si trovano su due vertici opposti, mentre gli altri due vertici contenuti tra quelli detti sono bianchi: costruisco il triangolo che che ha per base i due punti neri e per punti medi dei due lati (obliqui) i due punti bianchi, allora ho concluso perché ho il triangolo costruito ha tutti i vertici dello stesso colore oppure il triangolo simile avente per base i due punti bianchi li ha dello stesso colore :D

p.s. Esistono anche degli altri casi, ma in questi riesco sempre ad individuare un "triangolo equilatero di diagonali" avente i vertici dello stesso colore.
E si, mi sono spiegato di m***a sopra :lol:


@Simone: Sisi, avevo capito che non era detto in malafede, però ho preferito specificare per evitare incomprensioni :lol:

Gi.
Messaggi: 153
Iscritto il: 18 dic 2012, 16:45

Re: lenzuolo macchiato

Messaggio da Gi. » 04 gen 2014, 21:08

Poiché quella sopra è scritta orrendamente provo a scriverla meglio (l'idea di base è la stessa ma riduco i casi a due).

Prendo un triangolo equilatero, per pigeonhole due lati di questo hanno lo stesso colore (WLOG sono neri).
Adesso considero il vertice di colore diverso come il centro di un esagono e costruisco attorno al triangolo che ho già gli altri cinque necessari a formare il poligono.
Ci sono due casi sfortunati:

1)I due vertici dell'esagono adiacenti ai due vertici dello stesso colore del triangolo iniziale hanno lo stesso colore del centro dell'esagono, conseguentemente i due rimanenti hanno colore uguale ed opposto a quello di questi ultimi.
Adesso costruisco il triangolo che ha per base i due vertici dello stesso colore del centro e per triangolo mediale il triangolo iniziale, ed indipendentemente dal colore del terzo vertice si conclude;

2)I due vertici dell'esagono adiacenti ai due vertici dello stesso colore del triangolo iniziale sono uno bianco e l'altro nero, se voglio continuare ad aver sfortuna notiamo che i due vertici rimanenti dell'esagono devono essere o di colori diversi (e posizionati in un certo modo) oppure dello stesso colore, ma in entrambi i casi riesco a costruire un triangolo di diagonali aventi tutte la stessa lunghezza e con tre vertici dello stesso colore opposto a quello del centro dell'esagono.

[Con un disegno si capirebbe molto meglio...].
Ultima modifica di Gi. il 04 gen 2014, 22:35, modificato 1 volta in totale.

Avatar utente
simone256
Messaggi: 452
Iscritto il: 07 mag 2012, 16:10
Località: Crema

Re: lenzuolo macchiato

Messaggio da simone256 » 04 gen 2014, 22:27

Supponiamo ora che il lenzuolo sia un piano infinito sempre colorato con due colori, dimostrare che almeno uno tra essi possiede coppie di punti a qualsiasi distanza.

posto la mia soluzione anche se temo non funzioni... Infatti chiedo consigli :)
Testo nascosto:
consideriamo il colore A maggiormente presente nel piano, se per una qualsiasi distanza d non abbiamo due punti di quel colore A a quella distanza d vuol dire che per ogni punto di tal colore possiamo disegnare una circonferenza avente raggio d e avente centro in quel punto e la circonferenza sará tutta dell'altro colore B. Ma allora per ogni punto di color A avremo infiniti punti di color B, contro le ipotesi che A è il colore maggiormente presente nel piano.
Dove sbaglio?
$ \mbox{ }\mbox{ } $And God said : $ \displaystyle c^2 \mu_0 \varepsilon_0 =1 $,
and then there was light.


$ \mbox{ }\mbox{ } $Tsune ni shinen kufu seyo

Triarii
Messaggi: 464
Iscritto il: 18 nov 2010, 21:14

Re: lenzuolo macchiato

Messaggio da Triarii » 04 gen 2014, 23:25

Non sono ferrato per nulla in questi argomenti, però me la sdubbia parecchio il concetto di "maggiormente presente". Può darsi che la cardinalità di entrambi gli insiemi dei punti con stesso colore sia un infinito non numerabile, quindi aventi la stessa cardinalità...
"We' Inge!"
LTE4LYF

Avatar utente
simone256
Messaggi: 452
Iscritto il: 07 mag 2012, 16:10
Località: Crema

Re: lenzuolo macchiato

Messaggio da simone256 » 05 gen 2014, 07:47

Immaginavo... Provo a beccare una soluzione migliore dai :)
$ \mbox{ }\mbox{ } $And God said : $ \displaystyle c^2 \mu_0 \varepsilon_0 =1 $,
and then there was light.


$ \mbox{ }\mbox{ } $Tsune ni shinen kufu seyo

Avatar utente
karlosson_sul_tetto
Messaggi: 1436
Iscritto il: 10 set 2009, 13:21
Località: Napoli

Re: lenzuolo macchiato

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 05 gen 2014, 10:36

Bé la tua soluzione si aggiusta facilmente:
Testo nascosto:
Prendo un punto A WLOG colorato di nero e la distanza d. Traccio una circonferenza di centro A e raggio d. Se c'è almeno un punto nero ho vinto, se non ce n'è ho vinto lo stesso.

cioè in pratica è come il problema originale, si può anche risolvere col triangolo (che poi sono la stessa cosa più o meno ma pace)
"Inequality happens"
---
"Chissa se la fanno anche da asporto"

Rispondi