Ciao Ipazia! Io avevo pensato alla stessa dimostrazione, e avevo in mente due formalizzazioni. Visto che volevi una mano in questa parte, te le propongo tutte e due
Versione non formale:
Possiamo immaginare di scomporre la nostra scacchiera in due scacchiere sovrapposte: una è fatta da 10 righe con i numeri da 1 a 10, l'altra da 10 colonne con i numeri da 0 a 9. Il numero nella scacchiera originaria è naturalmente 10 volte il numero scritto nella seconda più il numero scritto nella prima.
Consideriamo la prima scacchiera. Visto che in ogni colonna devo prendere 5 numeri positivi e 5 negativi, e che in ogni colonna i numeri sono uguali, la somma di tutti gli elementi è 0. Discorso analogo vale per l'altra scacchiera. Perciò la somma dei numeri nella prima scacchiera (che è 0) più 10 volte la somma dei numeri nella seconda scacchiera (che è 0) è 0.
Versione formale:
Sia \(f(i,j)\) il numero scritto nella casella \((i,j)\) con il segno che abbiamo scelto, con centro di riferimento nel vertice in alto a sinistra della scacchiera. Vale \(f(i,j) = 10j+i+1\).
Siano:
1. \(a_i\): la somma di tutte le coordinate \(j\) (cambiate di segno se il numero nella casella \((i,j)\) è cambiato di segno) alla riga \(i\);
2. \(b_j\): la somma di tutte le coordinate \(i\) (cambiate di segno bla bla) alla colonna \(j\);
Facendo un double-counting su righe e colonne (ricordando che in ogni colonna metà sono cambiati di segno) abbiamo che
\(\displaystyle \sum_{i=1}^{2n}{a_i} = \sum_{j=1}^{2n}{ nj -nj} = 0\)
E ugualmente
\(\displaystyle \sum_{j=1}^{2n}{b_j} = \sum_{i=1}^{2n}{ nj -nj} = 0\)
Perciò
\(\displaystyle \sum_{0 \leq i,j \leq 2n-1}{f(i,j)} = \sum_{i=1}^{2n}{a_i} + 10 \sum_{j=1}^{2n}{b_j} = 0\)
I termini noti (cioè 1) delle \(f\) non vanno considerati perchè metà erano positivi, metà erano negativi, quindi si semplificano.
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Diciamo che con questa versione si capisce facilmente che l'unica cosa importante era la configurazione dei + e dei - e che il numero fosse una combinazione lineare delle coordinate. Perciò non importa nè che fosse \(2n = 10\), nè che le dimensioni della scacchiera fossero 2 (chi ci impedisce di ripetere un ragionamento simile su tante dimensioni), nè che \(f(i,j) = 10j+i+1\) (e non per esempio \(f(i,j) = 1986 i + 1990 j +2002\), le date di nascita delle mie sorelle).
Spero di essere stato d'aiuto!
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Nota, che puoi anche non leggere e sono solo delir..ehm generalizzazioni del problema.
Ti dirò di più: diciamo che nel problema abbiamo assegnato alle caselle i coefficienti \(+1\) e \(-1\) in modo che in ogni riga e in ogni colonna ci fossero lo stesso numero di +1 e -1; ma quello che abbiamo effettivamente usato nel double counting era che la somma dei coefficienti assegnati in una certa riga o in una certa colonna fosse 0! Quindi si potrebbe formulare il problema in termini più generali così:
Siano \(a_1, \ldots, a_{k+1} \in \mathbb{R}\) assegnati. Consideriamo un ipercubo \(2n\) x \(\ldots\) x \(2n\) di dimensione \(k\), che chiamiamo \(S\) (si dirà così? boh!).
Ad ogni casella \(X = (x_1, \ldots, x_k)\) con \(X \in S\) assegniamo due numeri:
1. \(f(X) = a_1x_1 + \ldots + a_k x_k+a_{k+1}\);
2. \(g(X)\) che per adesso è misterioso.
Sappiamo che, fissati \(k-1\) numeri \(y_1, \ldots, y_{k-1}\), si ha \(\displaystyle \sum_{i=1}^{2n}{g(y_1, \ldots, y_{k-1}, i)} = 0\) (non so come scrivere che si possono fissare qualsiasi \(k-1\) numeri nell'argomento, non per forza i primi \(k-1\), ma insomma il succo è quello).
Dimostrare che
\(\displaystyle \sum_{X \in S}{f(X)g(X)} = 0\)
Questo è un po' meno intuitivo del problema originale, ma la dimostrazione è
identica a quella che ho scritto, solo con qualche lettera in più negli argomenti. Per un'ulteriore generalizzazione, in cui non usiamo il fatto che \(S\) è un ipercubo, ho postato il problema qui nella sezione di combinatoria
In definitiva: una dimostrazione pulita dà modo di capire più in profondità un problema, i.e. cosa serve e cosa non serve.