Sns 2011/2012 problema 6

[mat94]

Siano dati $n$ segmenti $A_1B_1,...,A_nB_n$ nel piano di lunghezza unitaria,con $n≥$3.I segmenti si possono spostare con questo tipo di mossa: si sceglie un segmento $A_iB_i$ e un suo vertice V, poi si sceglie un secondo segmento $A_jB_j$ diverso dal precedente e si ruota rigidamente $A_jB_j$ intorno a V,di un angolo a piacere, fino ad una nuova posizione $A_jB_j$. Si mostri che, qualsiasi sia la configurazione iniziale, con un numero finito di mosse si può costruire un poligono regolare di n lati.

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sbagliato testo sorry

[mat94]

sbagliato testo sorry

Il testo è sbagliato?

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Nono io ho interpretato male il testo e facevo ruotare il segmento su uno dei suoi vertici
Comunque ci dovrei essere alla soluzione, appena torno a casa la posto

[Triarii]

Ok, ci provo nonostante l'ora tarda...
PARTE 1: unire tutti i segmenti.
Cercherò ora di dimostrare come unire 2 segmenti facendo coindicere un vertice. (Per semplicità invece di dire che ruoterò il segmento, nominerò solo un vertice, tanto non ha importanza in questa parte l'altro)
Considero 2 segmenti generici $ A_iB_i $ e A_kB_k. Siano $ A_i $ e$ A_k $ i vertici più vicini (La coppia di vertici che minimizza la distanza). Sia $ d $ questa distanza. Ho ora 3 casi
A)$ d=1 $
Faccio ruotare $ A_i $ attorno a$ A_k $. Poichè $ A_iA_k=A_kB_k=1 $, riesco a far coincidere $ A_i $ con $ B_k $.
B)$ d<1 $.
Faccio ruotare $ A_i $ intorno ad $ A_k $ fino a che $ A_1 $ non coincide con un punto interno a $ A_kB_k $.
Traccio ora la circonferenza $ \Gamma $di raggio unitario che ha come centro$ B_k $.$ \Gamma $ passa per $ A_k $ e non oltre lungo la direzione del segmeno $ A_kB_k $. La circonferenza $ \Gamma ' $ che spazza il punto $ A_i $ ruotando attorno a $ A_k $ intersece $ \Gamma $: infatti $ A_i $ è un punto del raggio di$ \Gamma $ , quindi è un suo punto interno, mentre il punto opposto diametralmente ad $ A_i $ in $ \Gamma $' è esterno a $ \Gamma $. Quindi per il teorema delle curve chiuse di Jordan e di Bolzano le 2 circonferenze si intersecano visto che $ \Gamma ' $ collega 2 punti appartenenti a regioni diverse.
Posso quindi far ruotare $ A_i $ attorno a $ A_k $ in modo che giacca su $ \Gamma $. La distanza è ora 1 e mi sono ricondotto al primo caso.
C)$ d>1 $
Dimostro che posso ricondurmi al secondo caso, dal quale possiamo ricondurci al primo.
Faccio ruotare$ A_i $ in modo che giaccia sulla stessa retta di $ A_kB_k $. Lo ruoto attorno aa $ A_k $ in modo che si trovi nella posizione diametralmente opposta. La distanza $ A_iA_k $ è invariata, ma la distanza $ A_iB_k $ è ora $ d-1 $. Posso quindi ripetere il procedimento ruotando $ A_i $ attorno a $ B_k $, poi attorno a $ A_k $ e così via, in modo che d diminuisca di 1 ogni passaggio. Alla fine arriveremo al punto che $ d<1 $.
Si noti che durante tutto il procedimento $ A_kB_k $ è stato fermo e che abbiamo usato un numero finito di mosse.
Posso ripetere quindi tutto il procedimento in modo da far "avvicinare" ogni volta un segmento all'agglomerato di segmenti con vertici combacianti in maniera opportuna. (Unendo ovviamente un segmento ad un vertice "libero" di un altro segmento unito per l'altro vertice).

PARTE 2: Ottenere il poligono regolare.
Una volta che ho ottenuto una catena di $ n $ segmenti uniti fra di loro basta far ruotare ogni segmento attorno ad un proprio vertice (che appartiene alnche ad un altro segmento, quindi la mossa è lecita) di $ \frac {180(n-2)} {n} $ gradi, ossia la misura dell'angolo di un poligono regolare. In tutto compio quindi n rotazioni al massimo (sempre un numero finito). Così facendo riesco infine ad unire i due vertici estremi della catena e a formare il poligono regolare in un numero finito di mosse (visto che in entrambe le parti ho usato un numero finito di mosse)

[mat94]

Che teorema è quello di Jordan-Bolzano? Credo che non serva per dire che le due circonferenze si intersecano ( se ho una circonferenza di raggio R e una di raggio r<R con centro sulla circonferenza è naturale che si intersechino). Comunque è la mia stessa soluzione. Per la Parte 2 magari va spiegata un po' meglio. Nella parte 1 tu dimostri che se fisso un segmento so attacarne un altro ad un suo vertice (se non è quello che ti serve puoi facilmente spostarlo sull'altro vertice del segmento), a questo punto ruoti il secondo rispetto al vertice attaccato a formare qull'angolo e procedi così finché non li attacchi tutti ( il problema di attaccare l'ultimo con il primo non sussiste in quanto la somma degli angoli interni di un poligono è 180(n-2) e dato che quelli prima sono tutti uguali a $180(n-2)/n$ anche l'ultimo segmento si attaccherà al primo).
Ad ogni modo un bel problema che non era stato ancora messo sul forum (insieme a tutta l'edizione 2011-2012 non so per quale motivo ).

[Triarii]

Il teorema di Jordan (che non so perchè l'ho chiamato di Bolzano) afferma che ogni curva chiusa (in questo caso la circonferenza) divide il piano in 2 regioni e che 2 punti appartenenti a regioni diverse possono essere "collegati" solo da una linea che interseca la curva. Lo so, è una cosa ovvia, ma è un teorema
Non capisco però le tue obiezioni sulla parte 2. Se non ho capito male tu non appena attaccato un segmento lo ruoti, io prima li attacco tutti e poi li ruoto, ma non è la stessa cosa alla fin fine?

[mat94]

Perché una volta che sono tutti attaccati se ne ruoti uno si stacca dal successivo.

[Triarii]

Hai ragione non ci avevo pensato (basterebbe dire che tanto poi lo posso riattaccare per quanto detto nella parte 1 credo, comunque col tuo metodo si evitano queste beghe)