Tennis
Tennis
Nel gioco del tennis ogni set è diviso in game. Per vincere un game (nel quale il servizio va sempre allo stesso giocatore) si devono fare almeno due punti in più dell'avversario e totalizzare almeno 4 punti. Detta p la probabilità che un giocatore ha di guadagnare un punto sul suo servizio, dire qual'è la probabilità che il suddetto giocatore vinca il game.
Re: Tennis
Poche idee e tanti conti xD
Allora innanzitutto noti che si può vincere per $4$ a $0$; per $4$ a $1$; per $4$ a $2$; oppure per $k+2$ a $k$ con qualsiasi $k\geq 3$. La risposta al problema è ovviamente la somma delle probabilità di tutti questi eventi.
I primi 3 casi vanno fatti uno per volta con un po' di pazienza, e dovresti trovare che complessivamente la probabilità che si verifichino è: $$p^4\biggl(1+\binom{4}{1}(1-p)+\binom{5}{2}(1-p)^2\biggl)$$ Questo calcolo lo lascio a te ma se trovi difficoltà ne riparliamo.
Per tutti gli altri casi, bisogna innanzitutto osservare una cosa fondamentale: Per vincere $k+2$ a $k$ bisogna prima aver pareggiato $i$ a $i$ per ogni $3\leq i \leq k$.
Infatti , se non si passa per il $i$ pari qualcuno finisce necessariamente con il vincere $i+1$ a $i-1$ e il game finisce lì.
Capito ciò diventa tutto più semplice: la probabilità $T_k$ di vincere per $k+2$ a $k$ è $$T_k=\binom{6}{3}p^3(1-p)^3 \ \cdot \ \biggl(2p(1-p)\biggl)^{k-3} \ \cdot \ p^2$$
Dove:
$\binom{6}{3}p^3(1-p)^3$ è la probabilità di raggiungere (in qualsiasi modo, poco ci importa) il punteggio del $3$ pari.
$2p(1-p)$ è la probabilità di passare da un pareggio al pareggio successivo (ad esempio dal $3$ pari al $4$ pari): entrambi i giocatori devono fare punto, non importa chi prima e chi dopo. A noi serve arrivare dal $3$ pari al $k$ pari, quindi il passaggio di pareggio in pareggio deve avvenire $k-3$ volte.
$p^2$, infine, è la probabilità di passare dal punteggio $k$ pari al punteggio voluto $k+2$ a $k$.
Non resta che sommare tutto: La probabilità cercata è $$P=p^4\biggl(1+\binom{4}{1}(1-p)+\binom{5}{2}(1-p)^2\biggl)+\sum_{k=3}^{\infty}T_k=$$$$=p^4\biggl(1+4(1-p)+10(1-p)^2\biggl)+20p^5(1-p)^3\sum_{k=0}^{\infty}{(2p(1-p))^k}=$$$$=p^4\biggl(1+4(1-p)+10(1-p)^2\biggl)+\frac{20p^5(1-p)^3}{1-2p(1-p)}$$
Ho usato un risultato noto: se $0<x<1$, $\sum_{k=0}^{\infty}{x^k}=\frac{1}{1-x}$. Se non lo sapevi e trovi difficoltà a dimostrarlo, dillo (come per qualsiasi altra cosa).
Allora innanzitutto noti che si può vincere per $4$ a $0$; per $4$ a $1$; per $4$ a $2$; oppure per $k+2$ a $k$ con qualsiasi $k\geq 3$. La risposta al problema è ovviamente la somma delle probabilità di tutti questi eventi.
I primi 3 casi vanno fatti uno per volta con un po' di pazienza, e dovresti trovare che complessivamente la probabilità che si verifichino è: $$p^4\biggl(1+\binom{4}{1}(1-p)+\binom{5}{2}(1-p)^2\biggl)$$ Questo calcolo lo lascio a te ma se trovi difficoltà ne riparliamo.
Per tutti gli altri casi, bisogna innanzitutto osservare una cosa fondamentale: Per vincere $k+2$ a $k$ bisogna prima aver pareggiato $i$ a $i$ per ogni $3\leq i \leq k$.
Infatti , se non si passa per il $i$ pari qualcuno finisce necessariamente con il vincere $i+1$ a $i-1$ e il game finisce lì.
Capito ciò diventa tutto più semplice: la probabilità $T_k$ di vincere per $k+2$ a $k$ è $$T_k=\binom{6}{3}p^3(1-p)^3 \ \cdot \ \biggl(2p(1-p)\biggl)^{k-3} \ \cdot \ p^2$$
Dove:
$\binom{6}{3}p^3(1-p)^3$ è la probabilità di raggiungere (in qualsiasi modo, poco ci importa) il punteggio del $3$ pari.
$2p(1-p)$ è la probabilità di passare da un pareggio al pareggio successivo (ad esempio dal $3$ pari al $4$ pari): entrambi i giocatori devono fare punto, non importa chi prima e chi dopo. A noi serve arrivare dal $3$ pari al $k$ pari, quindi il passaggio di pareggio in pareggio deve avvenire $k-3$ volte.
$p^2$, infine, è la probabilità di passare dal punteggio $k$ pari al punteggio voluto $k+2$ a $k$.
Non resta che sommare tutto: La probabilità cercata è $$P=p^4\biggl(1+\binom{4}{1}(1-p)+\binom{5}{2}(1-p)^2\biggl)+\sum_{k=3}^{\infty}T_k=$$$$=p^4\biggl(1+4(1-p)+10(1-p)^2\biggl)+20p^5(1-p)^3\sum_{k=0}^{\infty}{(2p(1-p))^k}=$$$$=p^4\biggl(1+4(1-p)+10(1-p)^2\biggl)+\frac{20p^5(1-p)^3}{1-2p(1-p)}$$
Ho usato un risultato noto: se $0<x<1$, $\sum_{k=0}^{\infty}{x^k}=\frac{1}{1-x}$. Se non lo sapevi e trovi difficoltà a dimostrarlo, dillo (come per qualsiasi altra cosa).
Pota gnari!
Re: Tennis
Grazie mille vado subito a rimuginarci sopra!
vado subito a rimuginarci sopra!