Dadi ancora più strani

[Tess]

Lanciando 2 dadi (i soliti a 6 facce equiprobabili numerati da 1 a 6) si possono ottenere tutti gli interi da 2 a 12, ma questi hanno probabilità diverse di uscire.
È possibile truccare i 2 dadi, quindi cambiando a piacimento la probabilità di uscita di ciascuna faccia, in modo che le uscite da 2 a 12 siano tutte equiprobabili?

[<enigma>]

[edit] Detto fatto, la metto in hide.

Testo nascosto:

Metodo 1: solito. Costruiamo $p(x)= \sum p_i x^i$ e $q(x)=\sum q_i x^i$ dove $p_i$ è la probabilità che esca la faccia $i$ nel primo dado, e similmente per il secondo dado. Allora si dovrebbe avere $p(x)q(x)= \frac 1 {11} \sum _{o \leq i \leq 10} x^i =\frac{x^{11}-1}{x-1}$, che è assurdo perché RHS non ha radici reali mentre LHS è il prodotto di due polinomi di grado dispari e quindi ne ha almeno due.

Metodo 2: magia. Le probabilità di avere somma $2$, $12$ e $7$ sono rispettivamente $p_1 q_i$, $p_6 q_6$ e $p_1 q_6+p_2q_5+p_3q_4+p_4q_3+p_5q_2+p_6q_1$, tutte naturalmente uguali a $\frac 1 {11}$. Dunque $q_1 =\frac 1 {11p_1}$ e $q_6=\frac 1 {11p_6}$. Allora nella somma delle probabilità per $7$ abbiamo $p_1 q_6=\frac 1 {11} \frac {p_1}{p_6}$ e $p_6 q_1=\frac 1 {11} \frac {p_6}{p_1}$. La probabilità che esca la somma $7$ è quindi $ p_1 q_6+p_2q_5+p_3q_4+p_4q_3+p_5q_2+p_6q_1 \geq p_1 q_6+p_6q_1 = \frac 1 {11} \left ( \frac{p_1}{p_6}+\frac{p_6}{p_1}\right ) \geq \frac 2 {11}>\frac 1 {11}$ per AM-GM, assurdo.

[Tess]

E io che speravo lo risolvesse qualcuno che non lo conosceva già!

[Triarii]

Scusate l'intromissione,

Testo nascosto:

ma quindi si può associare una probabilità ad un polinomio? Secondo che criterio?

[Tess]

No, guarda che le probabilità sono state prese come coefficienti di un polinomio! E questo solo perché le condizioni da imporre sono "naturalmente incorporate" nel prodotto di polinomi.
Prova a confrontare quel prodotto con il ciclotomico, coefficiente per coefficiente!

[fph]

@<enigma> per punizione per aver "bruciato" il problema immediatamente invece di lasciarlo a chi non l'ha mai visto prima, considerati moralmente obbligato a spiegare per filo e per segno la soluzione a Triarii.

[<enigma>]

L'idea è la stessa alla base delle funzioni generatrici. Supponiamo che $p_0, \dots, p_5$ siano le probabilità che esca la faccia $i$ al primo dado, e così $q_0, \dots, q_5$ per il secondo. Allora fare il prodotto di polinomi equivale a prendere la probabilità della somma: questo perché \[ (p_i x^i)(p_j x^j)=p^\ast _{i+j} x^{i+j};\]
qua ho usato un abuso di notazione segnalato con l'asterisco perché quella corretta sarebbe
\[ \sum _{i+j=n} p_i q_j=[x^n] p(x)q(x)=\text{probabilità che la somma sia $n$} . \]
E questa è vera per molti motivi, ad esempio perché i lanci dei due dadi sono indipendenti.
Se avessimo per ipotesi i coefficienti tutti uguali (ovvero le somme tutte equiprobabili), allora $p(x)q(x)$-che è il polinomio associato alle probabilità per la somma-avrebbe tutti i coefficienti uguali, e sarebbe precisamente $\dfrac 1 {11} x^{10}+\dfrac 1 {11} x^9+\dots+\dfrac 1 {11}x+\dfrac 1 {11}=\dfrac 1 {11} \dfrac{x^{11}-1}{x-1}$. Perché questo non può essere uguale a $p(x)q(x)$? Perché, se sai cos'è una radice dell'unità, saprai anche che il polinomio ciclotomico $\Phi_{11}$ non ha radici reali; $p(x)q(x)$ è invece il prodotto di due polinomi di quinto grado, che hanno dunque almeno una radice reale ciascuno.

P.S. Se a qualcuno dispiace che ci sia già una soluzione, si diverta a risolvere i due altri problemi sui dadi che ho postato

[Triarii]

Grazie mille <enigma> . La soluzione l'avevo capita (LHS prodotto di 2 polinomi di grado dispari che hanno minimo una soluzione reale ciascuno; RHS polinomio le cui radici formano un 11-gono regolare privato dell'unica radice che sta sull'asse reale; tutto ciò assurdo).
Quello che mi aveva colpito era l'idea di associare ad ogni probabilità un coefficiente di un polinomio (cosa che non mi sarebbe mai e poi mai venuto in mente di fare), ma ora che hai citato queste funzioni generatrici mi sa che andrò a leggermi il link che ha postato Drago96 in un altro thread sempre a proposito di questo argomento
OT: stupenda la fiVma