Dadi strani

[jordan]

Lanciando due dadi normali a sei facce si puo' ottenere come somma $n \in \{2,\ldots,12\}$ in $a_n$ diversi modi.

Esistono due dadi con facce $x_1,\ldots,x_6$ e $y_1,\ldots,y_6$ (interi positivi non necessariamente distinti) tali che si puo' ottenere come somma $n \in \{2,\ldots,12\}$ di nuovo in $a_n$ diversi modi?

[Ouroboros]

Esiste un modo più intelligente di andare per tentativi? Io credo che l'unica soluzione sia
Primo dado: 1, 3, 4, 5, 6, 8
Secondo dado: 1, 2, 2, 3, 3, 4

[jordan]

Esiste un modo più intelligente di andare per tentativi?

Oh yes Dimostrare che è unica non mi pare tanto comodo infatti..

[<enigma>]

Non è comodo, ma nulla più che un lavoro per casi. Entrambi i dadi devono avere esattamente un $1$ (guardando alla probabilità che esca $2$); se supponiamo che entrambi abbiano anche un $2$ abbiamo un assurdo guardando alla probabilità che esca il $3$: troviamo poi allora che, oltre all'$1$, uno ha un $2$ e l'altro un $3$, e si va avanti così fino al completamento dei dadi.

[fph]

Non è comodo, ma nulla più che un lavoro per casi. Entrambi i dadi devono avere esattamente un $1$ (guardando alla probabilità che esca $2$); se supponiamo che entrambi abbiano anche un $2$ abbiamo un assurdo guardando alla probabilità che esca il $3$

Mi sembra strano che tu arrivi a un assurdo, visto che esiste la soluzione banale e soddisfa tutte le ipotesi che hai fatto fino a quel punto.

[<enigma>]

se supponiamo che entrambi abbiano anche un $2$ abbiamo un assurdo guardando alla probabilità che esca il $3$

=se entrambi i dadi avessero un 2 salterebbe fuori un assurdo, quindi almeno un dado non ha dei 2 (in effetti, esattamente un dado non ha dei 2)

[fph]

Allora non mi sono spiegato...

Non ho capito come tu faccia ad arrivare ad un assurdo partendo dalle ipotesi "i due dadi contengono ognuno esattamente un 1 e almeno un 2; la probabilità di ottenere 2 è 1/36, la probabilità di ottenere 3 è 2/36", visto che c'è una configurazione che le soddisfa tutte (quella in cui i due dadi sono due dadi "ordinari" e contengono entrambi i numeri da 1 a 6).

[<enigma>]

È vero, ho dimenticato "un assurdo con un configurazione distinta da quella ordinaria". In effetti, se le facce sono 1,2,?,?,?,? e 1,?,?,?,?,?, se anche l'altro dado avesse un 2 (come nella distribuzione ordinaria) non ce ne potrebbero essere altri perché la probabilità che esca 3 è già $\frac 2 {36}$; visto che poi il 4 c'è per forza un dado deve avere un 3 su una faccia, eccetera-continuando a costruire le facce si arriva proprio alla distribuzione ordinaria (che è esclusa per ipotesi).