probabilità (archimede)

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Jigen
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probabilità (archimede)

Messaggio da Jigen » 05 mag 2013, 22:05

in una squadra ci sono 11 giocatori e 11 maglie numerate da 1 a 11 i giocatori entrano nello spogliatoio 1 alla volta, in ordine casuale.
ciascuno appena arriva sceglie una maglietta a caso tranne uno che vuole la maglia numero 8, qualè è la probabilità che riesca a prendere la maglia numero 8?
«Se gli altri avessero solamente riflettuto sulle verità matematiche in maniera profonda e continuativa come ho fatto io, avrebbero fatto anche loro le mie scoperte.»


Karl Friedrich Gauss (1777-1855)

Gi.
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Re: probabilità (archimede)

Messaggio da Gi. » 05 mag 2013, 22:21

Si, me lo ricordo, mi era piaciuto tanto
Testo nascosto:
Dividiamo in 11 casi possibili: il nostro giocatore entra per primo, per secondo, per terzo,...,per undicesimo; la probabilità che entri per primo, secondo,...,undicesimo è sempre 1/11.
In ogni caso la probabilità cercata si tramuta nella probabilità che i giocatori che entrano prima di lui non gli "rubino" la maglia:
se entra per primo banalmente la prende, se entra per secondo la probabilità che il primo non la prenda è 10/11, se entra per terzo la probabilità che i primi due non la prendano è 10/11*9/10=9/11, se entra per quarto è 10/11*9/10*8/9=8/11, e così via.
La probabilità cercata è dunque:

$ \displaystyle \frac{1}{11}\sum_{i=1}^{11}{\frac{i}{11}}=\frac{1}{11}\frac{66}{11}=\frac{6}{11} $
Ultima modifica di Gi. il 05 mag 2013, 22:48, modificato 4 volte in totale.

Jigen
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Re: probabilità (archimede)

Messaggio da Jigen » 05 mag 2013, 22:28

non si capisce bene la risposta alla fine ma se ho letto bene hai sbagliato, la probabilità non è 5/11
Ultima modifica di Jigen il 05 mag 2013, 22:40, modificato 1 volta in totale.
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Gottinger95
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Re: probabilità (archimede)

Messaggio da Gottinger95 » 05 mag 2013, 22:34

Sia \(P(x)\) la probabilità del nostro evento, e sia \(p_k(x)\) la probabilità che il giocatore capriccioso prenda la sua maglietta preferita entrando \(k\)-esimo nello spogliatoio.
Visto che i \(p_k(x)\) sono equiprobabili, abbiamo \(\displaystyle P(x) = \frac{1}{11} \sum_{k=1}^{11}{ p_k(x)} \) (1)

Abbiamo che \(\displaystyle p_k(x) = \frac{10}{11} \frac{9}{10} \ldots \frac{12-k}{11-k} = \frac{12-k}{11}\); ogni fattore rappresenta la probabilità che i giocatori entrati prima non abbiano preso la sua maglietta. Richiamando la (1), abbiamo:

\(\displaystyle P(x) = \frac{1}{11} \sum_{k=1}^{11}{ p_k(x)} =\frac{1}{11} \sum_{k=1}^{11}{\frac{12-k}{11}} = \frac{1}{121} \sum_{k=1}^{11}{12-k } = \frac{1}{121}(132-\frac{(11)(12)}{2}) = \frac{66}{121} = \frac{6}{11} \)
Ultima modifica di Gottinger95 il 05 mag 2013, 23:20, modificato 2 volte in totale.
\( \displaystyle \sigma(A,G) \ \ = \sum_{Y \in \mathscr{P}(A) } \dot{\chi_{|G|} } (Y) \) bum babe

Gottinger95
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Re: probabilità (archimede)

Messaggio da Gottinger95 » 05 mag 2013, 22:36

Bonus: e se invece ci fossero due giocatori capricciosi?
\( \displaystyle \sigma(A,G) \ \ = \sum_{Y \in \mathscr{P}(A) } \dot{\chi_{|G|} } (Y) \) bum babe

Gi.
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Re: probabilità (archimede)

Messaggio da Gi. » 05 mag 2013, 22:38

Si, hai ragione jigen, ho corretto, non avevo considerato delle cose che ho scritto ma non calcolato.
p.s. ho ingradito la sommatoria finale.

Jigen
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Re: probabilità (archimede)

Messaggio da Jigen » 05 mag 2013, 22:41

no, la probanilità non è ne 6/121 ne 1/2

p.s.
Gottinger95 hai fatto tutto bene, ma perchè quel 1/12 ?
Ultima modifica di Jigen il 05 mag 2013, 22:49, modificato 1 volta in totale.
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Gi.
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Re: probabilità (archimede)

Messaggio da Gi. » 05 mag 2013, 22:47

Errore di calcolo, corretto nuovamente :oops:

Jigen
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Re: probabilità (archimede)

Messaggio da Jigen » 05 mag 2013, 22:50

Gi. ha scritto:Errore di calcolo, corretto nuovamente :oops:
perfetto! il risultato è giusto!
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wall98
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Re: probabilità (archimede)

Messaggio da wall98 » 05 mag 2013, 22:51

divido i casi,se il bimbo entra per primo,secondo ecc..
ognuno con probabilita $ \displaystyle \frac{1}{11} $
so che quindi tutte le probabilita avranno un fattore $ \displaystyle \frac{1}{11} $ posso quindi raccogliere
$ \displaystyle \frac{1}{11}(qualcosa) $
quel qualcosa è la probabilita che lui riesca a prendere la maglia,cioe la probabilita che la maglia ci sia ancora
se lui entra per primo,la probabilita è 1,infatti è impossibile che sia stata tolta
se lui entra per secondo,la probabilita è $ \displaystyle \frac{10}{11} $ cioè l'antiprobabilita che quello prima di lui non l'abbia presa
se lui entra per terzo,la probabilita è $ \displaystyle \frac{9}{11} $ e cosi via....
la probabilita è quindi la sommatoria che va da 1 a 11 diviso $ 11 *11 $
cioè $ \displaystyle \frac{6}{11} $
Il problema non è il problema, il problema sei tu.

Ouroboros
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Re: probabilità (archimede)

Messaggio da Ouroboros » 05 mag 2013, 23:11

Gottinger95 ha scritto:Bonus: e se invece ci fossero due giocatori capricciosi?
Chiarimento anti-cazz... ehm, cavolate: i due giocatori si contendono la stessa maglia... vero?
Scusa, ma é colpa dell'ora... magari meglio pensarci domani :wink:
"Qual é 'l geomètra che tutto s'affige
per misurar lo cerchio, e non ritrova,
pensando, quel principio ond'elli indige,
tal era io a quella vista nova:
veder voleva come si convenne
l'imago al cerchio e come vi s'indova"

Gottinger95
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Re: probabilità (archimede)

Messaggio da Gottinger95 » 05 mag 2013, 23:26

Infatti mi sono spiegato male! Intendo due giocatori che vogliono magliette diverse, e l'obiettivo è che entrambi siano soddisfatti. Se proprio uno volesse fare il fico, sarebbe ancora meglio calcolare anche le probabilità che solo uno venga soddisfatto, per poi "pesare" ogni probabilità con il grado di soddisfazione corrispondente.
In questo caso, se entrambi vengono soddisfatti il grado è 2, se ne viene soddisfatto uno solo il grado è 1.
Il passo successivo di generalizzazione è con k persone, calcolando la probabilità pesata nel modo che ho appena cercato di spiegare.
Ah, domandissima: che si può fare con una sommatoria di questo genere?
\(\displaystyle \sum_{k=1}^n{\frac{1}{k+a} } \), con \(a \in \mathbb{R}\), al massimo \(a \in \mathbb{Q}\).
\( \displaystyle \sigma(A,G) \ \ = \sum_{Y \in \mathscr{P}(A) } \dot{\chi_{|G|} } (Y) \) bum babe

Gi.
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Re: probabilità (archimede)

Messaggio da Gi. » 06 mag 2013, 14:11

Spiego come calcolare quella in cui sono entrambi soddisfatti, non faccio i calcoli perchè ho poco tempo:

Abbiamo 11 posizioni in cui possono entrare i nostri 11 giocatori, dividiamo in 11 casi:

1) Uno dei nostri giocatori da soddisfare entra per primo (probabilità 1/2 che sia uno dei due), lui prende di sicuro la maglia desiderata, quindi la probabilità coincide con quella che il nostro secondo uomo prenda la maglia voluta fra 10 giocatori (simile al problema originale, cambiano i numeri) moltiplicato per 1/2.

2) Uno dei nostri giocatori da soddisfare entra per secondo (probabilità 1/2 che sia uno dei due), allora calcoliamo la probabilità che quello precedente non prenda nessuna delle due maglie volute, dopodichè abbiamo il secondo giocatore che può stare in una posizione qualunque tranne le prime due, quindi calcoliamo la probabilità che prenda la maglia voluta tra 9 giocatori (come sopra) moltiplicata per 1/2.

e così via...
Alla fine si sommano i risultati degli 11 casi.

Gottinger95
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Re: probabilità (archimede)

Messaggio da Gottinger95 » 08 mag 2013, 15:29

Definisco:
\(Q(n)\) la probabilità che un capriccioso riesca a prendere la maglietta con un gruppo di \(n\) persone, ed è pari a \(\frac{n+1}{2n}\);
\(p(k,n)\) la probabilità che un capriccioso riesca a prendere la maglietta con un gruppo di \(n\) persone entrando \(k\)-esimo, ed è pari a \(\frac{n+1-k}{n}\);
\(Q_k(n)\) la probabilitò che \(k\) capricciosi riescano a prendere la maglietta con un gruppo di \(n\) persone.

Usando la dimostrazione di Gi. , ho (il 2 fuori è perchè nella sommatoria considero sempre posizione_tizio_1 < posizione_tizio_2):

\(\displaystyle Q_2(n) = \frac{2}{n} \sum_{k=1}^{n-1}{ p(n,k) Q(n-k)} = \frac{2}{n} \sum_{k=1}^{n-1}{ \frac{n+1-k}{n} \frac{n+1-k}{2(n-k)}} =
\frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{n-1}{ \frac{(n+1-k)^2}{n-k}} = \frac{1}{n^2} \left( \sum_{k=1}^{n-1}{n+1-k} + \sum_{k=1}^{n-1}{ \frac{(n+1-k)}{n-k} } \right) = \)

\( \displaystyle = \frac{1}{n^2} \left( \sum_{k=1}^{n-1}{n+1} -\sum_{k=1}^{n-1}{k} + \sum_{k=1}^{n-1}{ 1+\frac{1}{n-k} } \right) = \frac{1}{n^2} \left((n+1)(n-1)-\frac{n(n-1)}{2} + n-1 + \sum_{k=1}^{n-1}{ \frac{1}{n-k} } \right) = \frac{1}{n^2} \left(\frac{(n+4)(n-1)}{2} + \sum_{k=1}^{n-1}{ \frac{1}{n-k} } \right) = \)

\(\displaystyle = \frac{1}{n^2} \left(\frac{(n+4)(n-1)}{2} + \sum_{k=1}^{n-1}{ \frac{1}{k} } \right)\)

E qui mi blocco. Come si svolge quell'ultima sommatoria?
Ultima modifica di Gottinger95 il 09 mag 2013, 09:28, modificato 1 volta in totale.
\( \displaystyle \sigma(A,G) \ \ = \sum_{Y \in \mathscr{P}(A) } \dot{\chi_{|G|} } (Y) \) bum babe

ndp15
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Re: probabilità (archimede)

Messaggio da ndp15 » 08 mag 2013, 20:20

Anzitutto c'è qualcosa che non va: quando k=n il denominatore è 0

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