3 lettere ripetute

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Jigen
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3 lettere ripetute

Messaggio da Jigen » 04 mag 2013, 17:09

All'inizio ho una $ A $ poi ho $ AB $ poi ho $ ABC $ poi $ ABCA $ ecc... ipotizziamo di arrivare fino al 10000esimo passo quanto vale la differenza tra il numero di $ A $ e il numero di $ C $?
«Se gli altri avessero solamente riflettuto sulle verità matematiche in maniera profonda e continuativa come ho fatto io, avrebbero fatto anche loro le mie scoperte.»


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Re: 3 lettere ripetute

Messaggio da Gi. » 04 mag 2013, 19:33

Probabilmente ho capito male il problema.
Consideriamo le lettere a gruppi di tre (ABC), quindi basta considerare 10000 in modulo 3 per vedere quanti gruppi abbiamo, ne abbiamo 3333 più una lettera A, le A e le C in ogni gruppo si elidono a vicenda e ci rimane una sola A, la differenza dovrebbe essere 1.

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Re: 3 lettere ripetute

Messaggio da Jigen » 04 mag 2013, 19:41

Gi. ha scritto:Probabilmente ho capito male il problema.
Consideriamo le lettere a gruppi di tre (ABC), quindi basta considerare 10000 in modulo 3 per vedere quanti gruppi abbiamo, ne abbiamo 3333 più una lettera A, le A e le C in ogni gruppo si elidono a vicenda e ci rimane una sola A, la differenza dovrebbe essere 1.
sei partito bene ma poi ti sei imbrogliato, il risultato non è corretto.
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Re: 3 lettere ripetute

Messaggio da Gi. » 04 mag 2013, 20:01

Aspetta, prima ho considerato la prima A come passo 1, forse è lì l' errore: non consideriamo la prima A, le prime tre lettere ottenute con i primi tre passi sono BCA, come prima consideriamo i 10000 come gruppi di tre, abbiamo 3333 gruppi BCA ed una lettera A, in ogni gruppo le C e le A si elidono, quindi rimangono la A esclusa e la A di resto, la differenza dovrebbe essere 2.

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Re: 3 lettere ripetute

Messaggio da Jigen » 04 mag 2013, 20:14

sbagliato di nuovo, ma ho scoperto che il tuo errore è dovuto al fatto che io mi sono espresso male XD.
allora:

passo 1 : $ A $ passo 2 : $ AB $ passo 3 : $ ABC $ passo 4 : $ ABCA $ passo 5 :$ ABCAB $ passo 6 : $ ABCABC $ ecc...
considera tutte le $ A $ di tutti i passaggi ad esempio se faccio solo 4 passaggi ho 5 $ A $ e tutte le $ C $ di ogni passaggio ad esempio se faccio solo 4 passaggi ho 2 $ C $.

scusate se non sono stato chiaro.
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Re: 3 lettere ripetute

Messaggio da Gi. » 04 mag 2013, 20:43

Ok, ho capito il problema.
Notiamo che al n-esimo passo abbiamo una parola di n lettere, consideriamo il numero di lettere di ogni parola modulo 3:

se è congruo a 0 A-C=0
se è congruo a 1 A-C=1
se è congruo a 2 A-C=1

i numeri congrui a 0 compresi tra 1 e 10000 dovrebbero essere 3333, quelli congrui a 1 3334, quelli congrui a 2 3333, quindi in totale la differenza è 3334+3333= 6667.
Spero di non aver toppato nuovamente :lol:

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Re: 3 lettere ripetute

Messaggio da Ouroboros » 04 mag 2013, 20:49

Per come é posto adesso, sembra giusto...
Posso proporre un bonus ( inventato sul momento)? E se la sequenza fosse A, BC, ABC, ABCA, BCABC (invece di ricominciare, parto dalla lettera che segue l'ultima utilizzata)... quale sarebbe la differenza tra le A e le C arrivati al 10000simo elemento? E in generale all'n-simo elemento?
Ultima modifica di Ouroboros il 04 mag 2013, 23:33, modificato 1 volta in totale.
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Re: 3 lettere ripetute

Messaggio da Jigen » 04 mag 2013, 20:58

Gi. ha scritto:6667
Giusto!
«Se gli altri avessero solamente riflettuto sulle verità matematiche in maniera profonda e continuativa come ho fatto io, avrebbero fatto anche loro le mie scoperte.»


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Re: 3 lettere ripetute

Messaggio da wall98 » 04 mag 2013, 22:56

@Ouroboros Puoi dirmi se la differenza per caso è 1?se è cosi provo a formalizzare una dimostrazione.
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Re: 3 lettere ripetute

Messaggio da Ouroboros » 04 mag 2013, 23:32

wall98 ha scritto:@Ouroboros Puoi dirmi se la differenza per caso è 1?se è cosi provo a formalizzare una dimostrazione.
Sì, é giusto, magari prova anche a formalizzare il caso generale ;)
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Re: 3 lettere ripetute

Messaggio da wall98 » 04 mag 2013, 23:40

per gli n congrui ad 1 mod 3 è 1
per gli n congrui a 2 mod 3 è 0
per gli n congrui a 0 mod 3 è 0
penso sia cosi,per la formalizzazione però mi sa che mi ci vorra molto tempo,ho un tale casino di idee...
e poi è anche tardi..
Il problema non è il problema, il problema sei tu.

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Re: 3 lettere ripetute

Messaggio da wall98 » 05 mag 2013, 01:11

innanzitutto bisogna fare degli accorgimenti,la generazione delle parole successive dipende dall'ultima lettera,nelle parole di 4 o piu lettere compare la sequenza $ ABC $ almeno una volta,e queste si elidono,possiamo quindi considerare quando si va a costruire la successione di prendere solo i termini di ogni parola che non si elidono...costruiamola
$ A $
$ BC $
$ ABC $
$ A $
$ BC $
$ ABC $
.
.
(sono anche le ultime lettere di una parola,avendo quindi trovato dei "finali" ripetuti,possiamo supporre che i finali si ripetano cosi all'infinito)
si vede quindi che la successione è periodica, con periodo 3,proviamo a fare allora delle considerazioni sul periodo....
1 la differenza di A e C è nulla, quindi per ogni n tale che $ n \equiv 0\pmod{3} $ la differenza è nulla
2 se si tronca il periodo nella prima parte (fino a $ BC $) la differenza tra A e C è nulla,ne segue che per tutti gli n tali che $ n\equiv 2\pmod{3} $ è nulla perche possiamo immaginare di "tagliare" la sequenza per periodi siccome la differenza è nulla
3 se si tronca il periodo alla prima parola (solo $ A $) la differenza è 1,da cui per ogni n tale che $ n\equiv 1\pmod{3} $ la differenza è 1 per gli stessi motivi suddetti

PS: probabilmente è piena di imprecisioni,il fatto è che non riesco proprio a scrivere decentemente le idee e non è neanche la dimostrazione a cui avevo pensato...quella era ancora piu incasinata
Il problema non è il problema, il problema sei tu.

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Re: 3 lettere ripetute

Messaggio da Ouroboros » 05 mag 2013, 08:29

wall98 ha scritto:(sono anche le ultime lettere di una parola,avendo quindi trovato dei "finali" ripetuti,possiamo supporre che i finali si ripetano cosi all'infinito)
L'intera dimostrazione ruota intorno a questo fatto: é giusto, ma temo vada dimostrato...
Non credo sia troppo difficile, provaci: se non ti dovesse venire in mente niente, qui c'è un hint...
Testo nascosto:
io proverei la dimostrazione per assurdo
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Re: 3 lettere ripetute

Messaggio da angelo3 » 05 mag 2013, 09:10

Io l'ho fatto così:
Testo nascosto:
Prima parte: capiamo come iniziano le parole mod 3: la prima parola inizia con $ A $ , vediamo se troviamo una successione periodica delle iniziali modulo 3 : avremo una parola di $ 3n+1 $ lettere che inizia con $ A $ quindi avrà $ n $ sequenze complete di $ ABC $ e finirà con $ A $ ; quindi la parola dopo comincerà con $ B $ e sarà lunga $ 3n+2 $ e avrà $ n $ sequenze di $ BCA $ poi finirà con $ BC $ ; infine l'ultima parola inizierà con $ A $ e avrà $ 3(n+1) $ lettere, quindi avrà $ 3(n+1) $ sequenze di $ ABC $ e quindi finirà in $ C $ . Così la parola dopo(congrua 1 modulo 3) comincerà in $ A $ e si continua così.
È facile osservare che le parole congrue 1 mod 3 avranno come differenza di $ A $ e $ C $ (all'interno di una sola parola) pari a $ 1 $ , mentre quelle a 2 modulo 3 a $ -1 $ , infine quelle a 0 modulo 3 avranno $ 0 $; da ciò si arriva facilmente alla conclusione che la differenza "totale" è 0 nelle parole congrue a 2 e a 0 modulo 3, mentre nelle parole congrue a 1 modulo 3 è 1 :wink:
Angelo

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Re: 3 lettere ripetute

Messaggio da Ouroboros » 05 mag 2013, 09:24

angelo3 ha scritto:Io l'ho fatto così:
Testo nascosto:
Prima parte: capiamo come iniziano le parole mod 3: la prima parola inizia con $ A $ , vediamo se troviamo una successione periodica delle iniziali modulo 3 : avremo una parola di $ 3n+1 $ lettere che inizia con $ A $ quindi avrà $ n $ sequenze complete di $ ABC $ e finirà con $ A $ ; quindi la parola dopo comincerà con $ B $ e sarà lunga $ 3n+2 $ e avrà $ n $ sequenze di $ BCA $ poi finirà con $ BC $ ; infine l'ultima parola inizierà con $ A $ e avrà $ 3(n+1) $ lettere, quindi avrà $ 3(n+1) $ sequenze di $ ABC $ e quindi finirà in $ C $ . Così la parola dopo(congrua 1 modulo 3) comincerà in $ A $ e si continua così.
È facile osservare che le parole congrue 1 mod 3 avranno come differenza di $ A $ e $ C $ (all'interno di una sola parola) pari a $ 1 $ , mentre quelle a 2 modulo 3 a $ -1 $ , infine quelle a 0 modulo 3 avranno $ 0 $; da ciò si arriva facilmente alla conclusione che la differenza "totale" è 0 nelle parole congrue a 2 e a 0 modulo 3, mentre nelle parole congrue a 1 modulo 3 è 1 :wink:
Bene! Sembra più formale della mia proposta, mi piace
E per tenere impegnati tutti, volevo proporre un altro bonus: la generalizzazione massima.
Date m lettere (m>3, si inizia sempre con ABC), calcolare la differenza tra le A e le C all' n-simo elemento di una sequenza costruita come quella di Jigen (bonus nel bonus: calcolare la differenza tra due lettere qualunque scelte tra le m disponibili).
Si potrà fare lo stesso con la mia sequenza? Per ora sto lavorando alla differenza semplice (A-C) ma sembra.... davvero complicato! Se qualcuno vuole tentare... ma temo che poi dovrò chiedere l'aiuto di qualcuno più esperto per controllare la dimostrazione :)
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