(1*2*3*4)+....(995*996*997*998) mod 1000

Conteggi, probabilità, invarianti, logica, matematizzazione, ...
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alceus
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(1*2*3*4)+....(995*996*997*998) mod 1000

Messaggio da alceus » 17 apr 2013, 17:15

Salve a tutti, qualcuno può darmi un suggerimento per risolvere il problema 5 della gara di Campigotto del 12/04?
Il testo è:
$ \textrm {Il numero } \textit{n} \textrm { si ottiene calcolando la seguente espressione:}\\(1\cdot2\cdot3\cdot4)+(2\cdot3\cdot4\cdot5)+(3\cdot4\cdot5\cdot6)+\cdots\cdots+(994\cdot995\cdot996\cdot997)+(995\cdot996\cdot997\cdot998).\\\textrm{Che resto si ottiene dividendo }\textit{n} \textrm{ per 1000?} $

Grazie

dario2994
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Re: (1*2*3*4)+....(995*996*997*998) mod 1000

Messaggio da dario2994 » 17 apr 2013, 17:21

Io proverei a dividere tutto per $4!$
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai

alceus
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Re: (1*2*3*4)+....(995*996*997*998) mod 1000

Messaggio da alceus » 17 apr 2013, 17:49

dario2994 ha scritto:Io proverei a dividere tutto per $4!$
Ok! Ottengo qualcosa del tipo: $ 1+5+3\cdot5+5\cdot7+\cdots\cdots+497*995*83*997+995*83*997*499\equiv1+5+3\cdot5+5\cdot7+\cdots\cdots+(-5)*(-3)+(-5)*(-1)\\\equiv1+5+3\cdot5+5\cdot7+\cdots\cdots+3*5+5\ (mod\ 1000). $
Però così non riesco a vederlo in modo più semplice :(

dario2994
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Re: (1*2*3*4)+....(995*996*997*998) mod 1000

Messaggio da dario2994 » 17 apr 2013, 17:55

$\binom{22}{4}=\frac{19\cdot 20 \cdot 21 \cdot 22}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}$
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai

LeZ
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Re: (1*2*3*4)+....(995*996*997*998) mod 1000

Messaggio da LeZ » 17 apr 2013, 17:56

Ti do due suggerimenti, non so quanto possano aiutarti però.
Hint 1:
Testo nascosto:
"Il prodotto di 4 interi consecutivi +1 è sempre un quadrato perfetto".
Hint 2:
Testo nascosto:
$ {n\over{24}}=\binom{4}{0}+\binom{5}{1}+\binom{6}{2}+....+\binom{n}{n-4}= \binom{n+1}{n-4} $

alceus
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Re: (1*2*3*4)+....(995*996*997*998) mod 1000

Messaggio da alceus » 17 apr 2013, 20:24

dario2994 ha scritto:$\binom{22}{4}=\frac{19\cdot 20 \cdot 21 \cdot 22}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}$
Ok, da qui ricavo $ n=4!\cdot\displaystyle\sum_{n=4}^{998} \binom{n}{4}=4!\cdot\sum_{n=4}^{998} \binom{n}{n-4} $
LeZ ha scritto:Ti do due suggerimenti, non so quanto possano aiutarti però.
Hint 1:
Testo nascosto:
"Il prodotto di 4 interi consecutivi +1 è sempre un quadrato perfetto".
Hint 2:
Testo nascosto:
$ {n\over{24}}=\binom{4}{0}+\binom{5}{1}+\binom{6}{2}+....+\binom{n}{n-4}= \binom{n+1}{n-4} $
Dal secondo suggerimento ho $ n=4!\cdot\displaystyle\binom{999}{994}=\displaystyle\frac{1}{5}\cdot999\cdot998\cdot997\cdot996\cdot995\equiv(-1)\cdot(-2)\cdot(-3)\cdot(-4)\cdot199\equiv776\ (mod\ 1000). $

Scusate ora la mia ignoranza, ma si potrebbe dimostrare facilmente la validità dei due suggerimenti di LeZ? Si tratta di proprietà note che dovrei conoscere? :oops:
Grazie :roll:

Edit: ok, credo di aver capito che il secondo è facile da dimostrare

LeZ
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Re: (1*2*3*4)+....(995*996*997*998) mod 1000

Messaggio da LeZ » 17 apr 2013, 20:37

Il primo è pura algebra il secondo lo dimostri agevolmente con l'induzione e con il famoso fatto che $\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}$ o in svariati altri modi probabilmente.

Gi.
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Re: (1*2*3*4)+....(995*996*997*998) mod 1000

Messaggio da Gi. » 18 apr 2013, 16:01

Scusate il breve off topic.

@Alceus: che il prodotto di quattro numeri consecutivi +1 è un quadrato perfetto lo puoi dimostrare così:

$ n(n+1)(n+2)(n+3)+1 $

adesso il prodotto di n e n+3 è quasi simile a quello di n+1 e n+2, e questa è una cosa buona quando cerchi quadrati:

$ (n^2+3n)(n^2+3n+2)+1 $

adesso si può usare un piccolo trucco per rendere il tutto più simmetrico

$ ((n^2+3n+1)-1)((n^2+3n+1)+1)+1 $
$ (n^2+3n+1)^2 $

Qui trovi altri tre o quattro modi per dimostrarlo (oltre a quello sopra).

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