Un'altra lavagna con sostituzioni.

[dario2994]

il succo é: avendo solo numeri naturali, posso ottenere numeri razionali con la sostituzione (in particolare frazioni con un multiplo di due al denominatore)?

Questo non so se è vero, ma so che non centra quasi nulla col problema in questione visto che 1 è un naturale
Inoltre il punto è che questo che tu dici, sempre che sia vero, oltre a non servire direttamente per il problema, dà l'idea di essere una cosa parecchio difficile da dimostrare

[Ouroboros]

A prescindere dal fatto che centri con il problema ( anche se, ovviamente, siamo partiti da lì e lì dovremo tornare), é poi così difficile? Provo a mettere il mio ragionamento " terra terra", se non é sufficiente allora...pazienza.
Partiamo da numeri naturali. La sostituzione consiste nel sceglierne due e sostituirli con $ x+y\pm{\sqrt{x^2+y^2}} $
Ora, la prima parte del nuovo numero é un intero... visto che partiamo da lì. Sotto la radice abbiamo una somma di quadrati di numeri interi... che può dare un altro quadrato oppure no: nel primo caso ho globalmente un numero intero, nel secondo ho un intero sommato ad una radice... in pratica, niente razionali (o interi, o irrazionali...) . Volendo fare una nuova sostituzione, nel primo caso (solo interi) cado nel caso di prima, se invece ho un irrazionale da sostituire ottengo un nuovo irrazionale, anche con radici sotto radici... potrebbe anche essere "semplificabile" ( per togliere le "radici sotto le radici" effettivamente si usa una formula nella quale compaiono anche frazioni), ma rimarrebbe un irrazionale. Tutto questo discorso è così poco scontato? E magari anche sbagliato? Ditemi

[dario2994]

Se invece ho un irrazionale da sostituire ottengo un nuovo irrazionale, anche con radici sotto radici... potrebbe anche essere "semplificabile", ma rimarrebbe un irrazionale.

Questo è molto difficile da dimostrare e ripeto forse manco vero. Visto che alcune versioni molto più facili di questo già sono molto difficili.

Tutto questo discorso è così poco scontato? E magari anche sbagliato? Ditemi

Questo discorso è solo un discorso fumoso e ci interessa poco.

[Ouroboros]

Questo discorso è solo un discorso fumoso e ci interessa poco.

Vabbé, ho capito, lasciamo stare... dal momento che mi era sorto un dubbio mi sembrava il caso di chiarirlo: se volessi limitarmi a conoscere le soluzioni dei problemi e a verificare se sono in grado di risolverli, probabilmente dovrei rivolgermi altrove.
Comunque... vedrò di rimanere di più "ad rem" la prossima volta.

[jordan]

se volessi limitarmi a conoscere le soluzioni dei problemi e a verificare se sono in grado di risolverli, probabilmente dovrei rivolgermi altrove.

C'è qualche malinteso, credo: ti viene solo obiettato il fatto che la tua idea di soluzione, seppur fosse vera, è estremamente piu' difficile del problema stesso. Ti faccio un caso particolare, cosi ti puoi rendere conto da solo:

"Prendi $p_1,p_2,\ldots,p_n$ primi a caso, non necessariamente distinti, e fissi degli interi $a_1,a_2,\ldots,a_n$ maggiori di $1$. Allora $\sum_{i=1}^n{p_i^{1/a_i}}$ è irrazionale."

Se provassi a risolvere quest'ultimo (che è una versione molto semplificata di cio' che affermi, no?), ti accorgeresti della differenza: questo non implica che la tua idea sia sbagliata (o non dimostrabile? non lo so), ma soltanto che non hai provato cio' che affermi.

[Ouroboros]

Ho capito: speravo che fosse più semplice dimostrare che la mia affermazione fosse vera ( perlomeno all'inizio); non essendo molto pratico di dimostrazioni, non pensavo fosse così tanto difficile... del resto, mi sarei accontentato di qualche indicazione, o un esempio come il tuo, per capire che stavo, diciamo, scavando un tunnel per attraversare la montagna invece di girarci attorno...
La mia insistenza era dovuta alla sete di conoscenza che, penso, tutti dovremmo avere in ogni occasione... ma ovviamente non si può capire tutto, bisogna partire dalle basi.
Grazie

[jordan]

Bene, manca ancora una soluzione bella e pulita di mezzo rigo che risolve (c)

[auron95]

Bene, manca ancora una soluzione bella e pulita di mezzo rigo che risolve (c)

Riparto daccapo e vediamo se ci riesco stavolta....

Quando sostituisco due numeri la somma e il prodotto raddoppiano, infatti
$\displaystyle x'+y'=x+y+\sqrt{x^2+y}+x+y-\sqrt{x^2+y^2}=2(x+y);\qquad x'y'=(x+y+\sqrt{x^2+y})(x+y-\sqrt{x^2+y})=(x+y)^2-(x^2+y^2)=2xy$
Quando effettuo la sostituzone di due numeri la somma dei reciproci rimane invariata infatti
$\displaystyle\frac 1{x'}+\frac 1{y'}=\frac{x'+y'}{x'y'}=\frac{2(x+y)}{2xy}=\frac 1{x}+\frac 1y$
Quindi rimane invariata anche la somma dei quattro reciproci ad ogni sostituzione, che è nel nostro caso $\displaystyle \frac13+\frac14+\frac15+\frac16<1$. Se comparisse 1 allora questa somma sarebbe certamente >1 dato che numeri negativi non compaiono (dimostrato nel punto a), assurdo.

Non è proprio di mezzo rigo però mi sembra abbastanza pulita adesso... aspetto il parere degli esperti

[jordan]

Era questa la soluzione cercata, finalmente