OliForum Matematico

Buongiorno, volevo proporre un problemino..

Trovare gli anagrammi di "LALLALLA" che non hanno vocali consecutive.

Io per risolverlo ho fatto una cosa sicuramente più complicata del necessario.. lascio a voi la parola

Non sono troppo sicuro, però io lo farei così: posiziono le A e lascio degli spazi in cui inserire le L

_A_A_A_

A questo punto vedo tutti i modi in cui posso scrivere 5 (il numero delle L) come somma di quattro naturali (eventualmente più di uno può essere 0), tenendo conto che nel secondo e terzo spazio vi deve necessariamente essere un numero maggiore o uguale a 1 (le vocali non possono stare vicine) e mi pare che le possibilità siano le seguenti:

2111
1211
1121
1112
0311
1310
0131
1130
0320
0230
1220
0221
0140
0410
2120
0122
2210
0212
3210
3120

e sono dunque $ 20 $ anagrammi.

Metodo interessante ma mi sa che manca qualche combinazione.. tipo 2120 o 0140 eccetera.. altrimenti un metodo più "matematico"? (nel senso senza bisogno di elencare tutte le combinazioni..)

Grazie, ho editato, sperando che ora ci siano tutte.
Un metodo più matematico potrebbe essere calcolare tutti i possibili anagrammi di "LALLALLA" ($ \frac{8!}{3!5!}=56 $) e poi togliere quelli in cui vi sono delle A consecutive, ma non mi sembra troppo immediato calcolare questi ultimi.

Io ne ho trovati 20...
Ho scritto ALALA e poi mi rimangono 3 L, le posso mettere in 4 "posti" (_AL_AL_A_)...
Partizione di 3 in 4 addendi: $ 20 $

Si, sono $ 20 $, stavolta ne avevo messi due di troppo (succede con tutte quelle combinazioni)
Vedendo il tuo post ho imparato una cosa nuova a cui non avevo mai pensato: assicurarmi la separazione piazzando una lettera tra le vocali e poi applicare la formula presente nelle sacre scritture del Gobbino a pagina 42 per la scrittura di un intero n come somma di k addendi, ossia $ {n+k-1}\choose {k-1} $.

Per non far morire il gioco troppo velocemente: quanti sono, invece, gli anagrammi della parola "LALLELLILLOLU" senza vocali consecutive?

Perfetto!
[OT]

Gi. ha scritto:nelle sacre scritture del Gobbino

Mi sa che dovrò procurarmele
[/OT]

Gi. ha scritto: quanti sono, invece, gli anagrammi della parola "LALLELLILLOLU" senza vocali consecutive?

Prima lo calcolo con il metodo di prima, considerando le vocali come fossero uguali, poi moltiplico il tutto per le possibili combinazioni di vocali. Quindi:
_A_LA_LA_LA_LA_
Distribuire 4 in 6 addendi quindi $ \binom{4+6-1}{6-1}=\binom{9}{5}=\frac{9!}{5!4!}=126 $
Moltiplico per le possibili combinazioni di vocali, cioè $ 5! $
$ 126*5!=15120 $
E' giusto? Mi sembra un po' troppo alto..

Comunque, ne propongo un'altro (più difficile ):
-Quante sono le parole di 5 lettere contenenti solo le lettere A, B, C (non necessariamente tutte) ?
-Di queste, quante sono tali che le lettere siano disposte in ordine alfabetico?
-"BABAC" che posizione occupa nella lista di tutti gli anagrammi in ordine alfabetico?

Si, anche a me ha dato quel risultato, credo sia corretto.

Le parole di quel tipo dovrebbero essere $ 3^5=243 $, infatti per ogni lettera ho sempre 3 possibilità ed essendo indipendenti tra di loro le devo moltiplicare.
Non mi è chiara una cosa: cosa intendi con "in ordine alfabetico"? Pensavo intendessi parole del tipo AABBC, ma ho visto che nel terzo punto inserisci tra di esse BABAC che è diversa da quelle pensate da me.

Nel secondo punto intendo che le lettere della parola siano in ordine alfabetico (quindi come AABBC), invece nel terzo punto intendo TUTTI i 243 anagrammi (non sono proprio anagrammi ) ,anche quelli in cui le lettere non sono in ordine, messi in ordine alfabatico, quindi ad esempio BABAC sarà l'anagramma immediatamente successivo a BABAB.

Per le parole in ordine alfabetico non dovrebbe essere troppo difficile: la prima è sicuramente AAAAA, a cui segue quella AAAAB la cui successiva è AAAAC, cioè banalmente ad ogni numero di B inserito corrisponde un egual numero di parole in cui una C sostituisce una delle B, tenendo bene a mente che le lettere devono stare nell' ordine A-B-C. Ossia: $ 6+(1+2+3+4+5)= 21 $.
Mi spiego meglio: il 6 è dato dalla parola AAAAA a cui aggiungiamo le cinque in qui di volta in volta sostituiamo una B ad ogni A partendo dall' ultima (AAAAB,AAABB,AABBB,ABBBB,BBBBB), mentre 1+2+3+4+5 è dato sostituendo di volta in volta una C per ogni B nelle parole tra parentesi (AAAAC,AAABC,AAACC,AABBC,...).

Congettura: il numero di anagrammi, le cui lettere sono disposte in ordine alfabetico, in una parola di n lettere composta dalle sole lettere A,B,C è

$ \displaystyle \frac{(n+1)(n+2)}{2} $

Sarà vera? Chissà.

Tra l' altro, mi pare che detta $ V(n $) quella quantità possiamo calcolare ricorsivamente $ V(n+1) $ come

$ V(n+1)=V(n)+(n+2) $

Per l' ultimo punto ci penso ancora un pochino, anche se non dovrebbe essere troppo complicato.

EDIT: si trova in $ 92-esima $ posizione?

Gi. ha scritto: EDIT: si trova in $ 92-esima $ posizione?

Esattamente!
Per il secondo punto, posto un ragionamento un po' diverso:
Siccome le lettere devono essere in ordine alfabetico, e per ogni gruppo di lettere c'è un modo solo di metterle in ordine alfabetico, una volta scelte le lettere da usare( ad esempio 4 B e 1 C) , con quelle lettere si è sicuri di poter formare una e una sola parola in ordine alfabetico. Quindi si tratta solo di capire in quanti modi diversi possono essere scelte le lettere.
Si sa che:
$ n°A+n°B+n°C=5 $
Quindi si utilizza la formula per calcolare in quanti modi $ n $ può essere scritto come somma di $ $k addendi: $ \binom{5+3-1}{3-1}=21 $
A partire da questa formula, si può verificare anche che la tua congettura è vera

Carino il metodo che hai usato per il secondo punto, lo terrò a mente.
Dato che mi confermi il risultato, posto il metodo che ho utilizzato per il terzo punto.
Sostanzialmente ho calcolato le parole successive in ordine alfabetico a BABAB e le ho sottratte da 243.
La prima B può al massimo diventare una C e le restanti quattro lettere le tratto come numero di parole di quattro lettere formate con le lettere A,B,C ($ 3^4 $); la A può diventare B o C e le restanti tre lettere le tratto come parole di tre lettere formate con le lettere A,B,C; ecc.
Quindi in totale sono: $ 3^4+2*3^3+3^2+2*3+1=151 $, $ 243-151=92 $.

Sì, oppure contando direttamente le parole precedenti, che forse viene un più corto dato che ci sono tante A