OliForum Matematico

Non dubito che sia arcinoto, ma io me ne sono accorto ora: $$\sum_{i\in N}\frac{i}{(i+1)!}=1$$
Dimostratelo!

Ma hai trovato una soluzione combinatorica? Perché io ne ho trovata una ma non mi sembra molto adatta alla sezione e in caso lascio fare ai meno esperti (non perché io sia esperto, ma perché mi è venuto facile, quindi boh, non spoilero).

Comunque si vede che non ti piace la combinatoria

Pensavo a qualcosa tipo power series, ma con due minuti "la vedi col binocolo"

Troleito br00tal ha scritto:Ma hai trovato una soluzione combinatorica? Perché io ne ho trovata una ma non mi sembra molto adatta alla sezione e in caso lascio fare ai meno esperti (non perché io sia esperto, ma perché mi è venuto facile, quindi boh, non spoilero).

Comunque si vede che non ti piace la combinatoria

Ahah xD Anch'io ho una soluzione per induzione molto semplice, più una soluzione combinatorica assurda!

Allora, riscriviamo come $ \displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}\dfrac{(n+1)-1}{(n+1)!}=\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{n!}-\dfrac{1}{(n+1)!}\right)=1 $ poichè la serie è telescopica, quindi rimane solo il termine $ 1 $.

Va bene era ufficilamente una sciocchezza
La mia induzione era su $n$ per $ \displaystyle \sum_{i=1}^{n}{\frac{i}{(i+1)!}}=1-\frac{1}{(n+1)!} $, mentre della soluzione combinatorica è meglio che non parli xD
Vorrà dire che la prossima volta che penso di aver trovato qualcosa di carino prima di dirlo controllerò due volte che non sia una banalità

"Faccela vedè, faccela toccà"

La soluzione combinatorica.

A grande richiesta, la soluzione combinatorica:
Fissato $n$, per ogni $1\leq k < n$ sia $ T_k $ l'insieme delle permutazioni $ \tau $ di {1, 2, ..., $ n $} tali $ \tau(i)>\tau(j) \ \forall \ 1\leq i<j\leq k $, $ \tau(k+1)>\tau(k) $. Si dimostra che $ \displaystyle |T_k|=\frac{n!k}{(k+1)!} $.
I $ T_i $ sono tutti disgiunti e la loro unione ha cardinalità $n!-1$, perchè l'unica permutazione che non rientra in nessun $T_i$ è l'identica.
Quindi $ \displaystyle \sum_{i=1}^{n-1}{\frac{n!k}{(k+1)!}}=n!-1 $. Dividendo per $ n! $ e portando al limite si ha la tesi. xD

Non ci sarei mai arrivato .

Solo un "piccolo" appunto: bisogna fare attenzione quando si parla di telescopizzare una somma infinita...

Esempio: $\displaystyle\sum_{i=0}^\infty2^i=1+2+4+8+\dots=(2-1)+(4-2)+(8-4)+\dots=\sum_{i=0}^\infty2^{i+1}-2^i$ che secondo il tuo ragionamento si dovrebbe telescopizzare a... -1!!!

Dov'è il trucco/l'errore? E' nel fatto che quando si ha a che fare con l'infinito si deve ragionare in termini di limiti. Nell'esempio, si dovrebbe "definire" $\displaystyle\sum_{i=0}^\infty2^i=1+2+4+8+\dots$ come $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^n2^i$. Telescopizzando quest'ultima si arriva alla nota identità $\sum_{i=0}^n2^i=2^{n+1}-1$. Ora, bisogna far tendere $n$ ad infinito e quindi si vede che cresce esponenzialmente, altro che convergere a -1! Questo perchè nel telescopizzare si tralasciava un termine grosso.

Invece nell'esercizio di questo topic la somma si telescopizza come $\displaystyle1-\frac1{(n+1)!}$, il cui termine con la $n$ diventa infinitamente piccolo.

Boh, fine di questo "excursus formale", ma neanche poi così tanto...