$\sum{\frac{i}{(i+1)!}}=1$

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kalu
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$\sum{\frac{i}{(i+1)!}}=1$

Messaggio da kalu » 14 gen 2013, 21:18

Non dubito che sia arcinoto, ma io me ne sono accorto ora: $$\sum_{i\in N}\frac{i}{(i+1)!}=1$$
Dimostratelo!
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Troleito br00tal
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Re: $\sum{\frac{i}{(i+1)!}}=1$

Messaggio da Troleito br00tal » 14 gen 2013, 21:22

Ma hai trovato una soluzione combinatorica? Perché io ne ho trovata una ma non mi sembra molto adatta alla sezione e in caso lascio fare ai meno esperti (non perché io sia esperto, ma perché mi è venuto facile, quindi boh, non spoilero).

Comunque si vede che non ti piace la combinatoria :P

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jordan
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Re: $\sum{\frac{i}{(i+1)!}}=1$

Messaggio da jordan » 14 gen 2013, 21:27

Pensavo a qualcosa tipo power series, ma con due minuti "la vedi col binocolo"
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kalu
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Re: $\sum{\frac{i}{(i+1)!}}=1$

Messaggio da kalu » 14 gen 2013, 21:47

Troleito br00tal ha scritto:Ma hai trovato una soluzione combinatorica? Perché io ne ho trovata una ma non mi sembra molto adatta alla sezione e in caso lascio fare ai meno esperti (non perché io sia esperto, ma perché mi è venuto facile, quindi boh, non spoilero).

Comunque si vede che non ti piace la combinatoria :P
Ahah xD Anch'io ho una soluzione per induzione molto semplice, più una soluzione combinatorica assurda!
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Hawk
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Re: $\sum{\frac{i}{(i+1)!}}=1$

Messaggio da Hawk » 14 gen 2013, 21:51

Allora, riscriviamo come $ \displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}\dfrac{(n+1)-1}{(n+1)!}=\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{n!}-\dfrac{1}{(n+1)!}\right)=1 $ poichè la serie è telescopica, quindi rimane solo il termine $ 1 $.
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kalu
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Re: $\sum{\frac{i}{(i+1)!}}=1$

Messaggio da kalu » 14 gen 2013, 22:06

Va bene era ufficilamente una sciocchezza :D
La mia induzione era su $n$ per $ \displaystyle \sum_{i=1}^{n}{\frac{i}{(i+1)!}}=1-\frac{1}{(n+1)!} $, mentre della soluzione combinatorica è meglio che non parli xD
Vorrà dire che la prossima volta che penso di aver trovato qualcosa di carino prima di dirlo controllerò due volte che non sia una banalità :)
Ultima modifica di kalu il 14 gen 2013, 22:38, modificato 1 volta in totale.
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Troleito br00tal
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Re: $\sum{\frac{i}{(i+1)!}}=1$

Messaggio da Troleito br00tal » 14 gen 2013, 22:10

"Faccela vedè, faccela toccà"

La soluzione combinatorica.

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Re: $\sum{\frac{i}{(i+1)!}}=1$

Messaggio da kalu » 14 gen 2013, 22:37

A grande richiesta, la soluzione combinatorica:
Fissato $n$, per ogni $1\leq k < n$ sia $ T_k $ l'insieme delle permutazioni $ \tau $ di {1, 2, ..., $ n $} tali $ \tau(i)>\tau(j) \ \forall \ 1\leq i<j\leq k $, $ \tau(k+1)>\tau(k) $. Si dimostra che $ \displaystyle |T_k|=\frac{n!k}{(k+1)!} $.
I $ T_i $ sono tutti disgiunti e la loro unione ha cardinalità $n!-1$, perchè l'unica permutazione che non rientra in nessun $T_i$ è l'identica.
Quindi $ \displaystyle \sum_{i=1}^{n-1}{\frac{n!k}{(k+1)!}}=n!-1 $. Dividendo per $ n! $ e portando al limite si ha la tesi. xD
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Re: $\sum{\frac{i}{(i+1)!}}=1$

Messaggio da Hawk » 14 gen 2013, 23:46

Non ci sarei mai arrivato :shock: .
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Drago96
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Re: $\sum{\frac{i}{(i+1)!}}=1$

Messaggio da Drago96 » 15 gen 2013, 18:46

Solo un "piccolo" appunto: bisogna fare attenzione quando si parla di telescopizzare una somma infinita... ;)

Esempio: $\displaystyle\sum_{i=0}^\infty2^i=1+2+4+8+\dots=(2-1)+(4-2)+(8-4)+\dots=\sum_{i=0}^\infty2^{i+1}-2^i$ che secondo il tuo ragionamento si dovrebbe telescopizzare a... -1!!!

Dov'è il trucco/l'errore? E' nel fatto che quando si ha a che fare con l'infinito si deve ragionare in termini di limiti. Nell'esempio, si dovrebbe "definire" $\displaystyle\sum_{i=0}^\infty2^i=1+2+4+8+\dots$ come $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^n2^i$. Telescopizzando quest'ultima si arriva alla nota identità $\sum_{i=0}^n2^i=2^{n+1}-1$. Ora, bisogna far tendere $n$ ad infinito e quindi si vede che cresce esponenzialmente, altro che convergere a -1! Questo perchè nel telescopizzare si tralasciava un termine grosso.

Invece nell'esercizio di questo topic la somma si telescopizza come $\displaystyle1-\frac1{(n+1)!}$, il cui termine con la $n$ diventa infinitamente piccolo.

Boh, fine di questo "excursus formale", ma neanche poi così tanto... :D
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)

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