Alle poste

[Triarii]

Scusate l'ignoranza, ma $ !n $ che significa?

[jordan]

Beh, moltiplicando per $n!$ e chiamando $f(n)=n!p(n)$, $f$ soddisfa per ricorrenza a $f(n)=nf(n-1)+nf(n-2)$, che è una ricorrenza lineare. È facile dimostrare che $f(n)=n!$ e $f(n)=!n$ soddisfano, quindi la soluzione è in generale una combinazione lineare delle 2.

Oltre che $n!$ non mi pare soluzione e neanch'io so il significato di $!n$, resterebbe da dimostrare che tutte e sole le soluzioni di quella ricorrenza sono date dalla combinazione lineare delle due

Ma del resto non è che questa "risoluzione" sia tanto meglio di una definizione...a volte...

Yes, per chi volesse molti punti di vista su come e/o cosa una soluzione puo' essere definita, c'è il libro di Stanley (cap.1) in tema..

[auron95]

Sono io che prendo un abbaglio oppure moltiplicando per n! non viene fuori $f(n)=nf(n-1)+nf(n-2)$ ma $f(n)=(n-1)f(n-1)+(n-1)f(n-2)$ ?

[BadBishop.com]

u.u No, solo ieri sera stavo cercando di prendere sonno e mi sono ricordato di quando in seconda liceo guardai un video di Gobbino in cui veniva posto questo problema, l'ho risolto, è uscita una cosa carina e mi sono addormentato.

Ne approfitto per chiedere ai novizi di farsi avanti perchè è un problema davvero carino ed istruttivo

Potresti dirmi di che video si tratta?

PS: Se non sbaglio stiamo parlando di questo http://it.wikipedia.org/wiki/Dismutazione_(matematica)

[Tess]

Sono io che prendo un abbaglio oppure moltiplicando per n! non viene fuori ...

Sì, ho decisamente sbagliato a fare i conti, viene quello che dici. Quindi $n!$ è soluzione e $!n$ (il subfattoriale o il numero di dismutazioni) è un'altra soluzione.

resterebbe da dimostrare che tutte e sole le soluzioni di quella ricorrenza sono date dalla combinazione lineare delle due

Questo discende banalmente da 2 fatti: la successione è univocamente definita dai primi 2 termini, $n!$ e $!n$ assumono con $n=0,1$ valori linearmente indipendenti, ciò implica il fatto che, detto $F(n)=a(n!)+b(!n)$, il sistema $F(0)=primo\_termine\_della\_successione,$ $F(1)=secondo\_termine\_della\_successione$ abbia sempre un'unica soluzione in $a,b$. Ora, per tali $a,b$ si sa che $F$ soddisfa i primi 2 valori, e soddisfa la ricorrenza poiché, essendo questa una equazione lineare, combinazione lineare di soluzioni è soluzione; in altre parole $F$ è la nostra successione.