OliForum Matematico

Mio fratellino che è a conoscenza della mia passione per la matematica stasera mi ha posto il seguente problema:
In un testo di $ n $ lettere qual è la probabilità che vi siano più lettere successive alla lettera che occupa posto $ p $ nell'alfabeto?

Considerando che quasi metà delle lettere utilizzate sono in genere vocali, molto poche direi

Ok piccola variante... Nel villaggio di "Matelettera" tutte le lettere hanno la stessa probabilità di essere utilizzate nelle parole;
Nel villaggio di Matelettera qual è la soluzione del problema in alto?

Il numero di testi possibili è $26^n$
La probabilità che ci siano esattamente $k$ lettere di posto $\le p$ è $\displaystyle \frac{\binom{n}{k} p^k {(26-p)}^{n-k}}{26^n}$ (un qualche teorema che so che esiste ma non ho la più pallida idea di come si chiami)
Quindi la probabilità che ci siano più lettere successive è $\displaystyle \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \frac{\binom{n}{k} p^k {(26-p)}^{n-k}}{26^n}$

auron95 ha scritto:Il numero di testi possibili è $26^n$
La probabilità che ci siano esattamente $k$ lettere di posto $\le p$ è $\displaystyle \frac{\binom{n}{k} p^k {(26-p)}^{n-k}}{26^n}$ (un qualche teorema che so che esiste ma non ho la più pallida idea di come si chiami)
Quindi la probabilità che ci siano più lettere successive è $\displaystyle \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \frac{\binom{n}{k} p^k {(26-p)}^{n-k}}{26^n}$

Se ti interessa è la distribuzione binomiale

Ok Auron credo che sia la stessa cosa della mia che avevo posto come: $ \displaystyle \sum_{k=\lfloor n/2\rfloor +1}^{n} \frac{\binom{n}{k} p^{n-k} {(26-p)}^n}{26^n} $

Spero funzioni anche la mia

Penso sia la stessa a cosa, a parte un typo (un esponente a numeratore dovrebbe essere k non n)

auron95 ha scritto:Penso sia la stessa a cosa, a parte un typo (un esponente a numeratore dovrebbe essere k non n)

Sul foglio l'avevo fatto giusto... Bene ora posso dormire tranquillo, buonanotte a tutti

$ \displaystyle \sum_{k=\lfloor n/2\rfloor +1}^{n} \frac{\binom{n}{k} p^{n-k} {(26-p)}^k}{26^n} $

Un momento..... penso che qualcosa non quadri nella mia espressione.... forse al posto di $\lfloor n/2 \rfloor$ ci va un $\lceil n/2 \rceil -1$......

auron95 ha scritto:Un momento..... penso che qualcosa non quadri nella mia espressione.... forse al posto di $\lfloor n/2 \rfloor$ ci va un $\lceil n/2 \rceil -1$......

Hahaha! Sono tornato adesso da scuola e sono salito sul forum proprio per dirti che avevi commesso questo piccolo errore! Sai le ore di letteratura mi inducono a riflettere sulle distribuzioni binomiali

Però suppongo che la versione giusta sia: $ \displaystyle \lceil \frac{n -1}{2} \rceil $

Piccolo bonus...
E' possibile esprimere la probabilità

$ \displaystyle P=\sum_{k=\lfloor n/2\rfloor +1}^{n} \frac{\binom{n}{k} p^{n-k} {(26-p)}^k}{26^n} $

(O come si vuole...

$ \displaystyle P=\sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor} \frac{\binom{n}{k} p^k {(26-p)}^{n-k}}{26^n} $)

in una legge che dipende solo da $ k $ e da $ p $ priva di qualsiasi sommatoria? Io qui davvero credo di non farcela...

simone256 ha scritto:Però suppongo che la versione giusta sia: $ \displaystyle \lceil \frac{n -1}{2} \rceil $

Non è equivalente a $\displaystyle \lfloor \frac{n}{2} \rfloor$? Ho provato sia con n pari che con n dispari e viene lo stesso.

P.S. Per le ore di letteratura capita spesso anche a me...

In generale dovrebbe essere (in modo da tenere lo stesso numero di termini) $n - (\lfloor n/2 \rfloor + 1)$ che se non sbaglio è equivalente a $\lceil n/2 \rceil -1$....

Allora...

Se ipotizziamo $ n $ pari $ \displaystyle \lfloor \frac{n}{2} \rfloor $ sarebbe sbagliato perché considereremmo anche il caso il numero di lettere successive a quella di posto $ p $ siano uguali a quelle di posto precedente (o uguale) a $ p $...
Per esempio con $ n=4 $, $ k $ sarebbe uguale anche a $ 2 $...

Se invece ipotizziamo $ n $ dispari $ \lceil n/2 \rceil -1 $ sarebbe sbagliato perché non considereremmo il caso in cui abbiamo una lettera in più di quelle che "ci piacciono"...
Per esempio con $ n=5 $, $ k $ potrebbe valere solo $ 0 $ e $ 1 $, mentre a noi interesserebbe anche un $ 2 $!

Se ho sparato una valanga di boiate non aver paura di insultarmi... Anzi, ti chiedo pazienza perchè mi considero (e sono) solo un principiante.

simone256 ha scritto:Per esempio con n=5, k potrebbe valere solo 0 e 1, mentre a noi interesserebbe anche un 2!

Ma per $n=5$ allora $\lceil n/2 \rceil -1 = 2$, quindi consideriamo tutti i casi che ci servono.
Comunque don't worry, anch'io sono un novizio....