Per comodità tipografica sia \(\alpha = \frac{1}{365}\). L'ultima legge si trasforma, moltiplicando per tutti gli alfa, in:
\(p_{n,k} = p_{n-1,k} + \alpha p_{n-2,k-1} + \alpha^{2}p_{n-3, k-2} + \ldots + \alpha^{k-1}p_{n-k,1} = \)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ = \sum_{j=0}^{k-1}{\alpha^{j}p_{n-j-1,k-j}}\)
Continuiamo ad applicare la legge ricorsiva appena ottenuta su ogni termine della legge ricorsiva stessa, per cercare di "abbattere" la ricorsione e arrivare a una forma pulita.
Per capire cosa viene fuori, procediamo in questo modo: scriviamo la legge ricorsiva in colonna e - a destra di ogni termine - scriviamo la sua ricorrenza. Spero di essermi spiegato.
\( p_{n, k} = \)
\( p_{n-1,k} = p_{n-2,k} + \alpha p_{n-3,k-1} + \alpha^{2}p_{n-4,k-2} + \ldots + \alpha^{k-1}p_{n-k-1,1} \)
+
\(\alpha p_{n-2,k-1} = \alpha p_{n-3,k-1} + \alpha^{2}p_{n-4,k-2} + \ldots + \alpha^{k-1}p_{n-k-1,1} \)
+
\(\vdots\)
+
+
\(\alpha^{k-1}p_{n-k,1} = \alpha^{k-1}p_{n-k-1,1}\)
Toh guarda, per un incredibile colpo di fortuna (che si può in formalmente dimostrare in modo semplice, ma non mi va di impelagarmi in mille lettere con latex) molti termini sono uguali! La ricorrenza risulta:
\(\displaystyle p_{n,k} = \sum_{j=0}^{k-1}{(j+1)\alpha^{j}p_{n-j-2,k-j)}}\)
Notiamo che il numero di termini non è variato, questo fa molto piacere, ma allo stesso tempo il primo indice del primo termine è diminuito di 1. Scriveremo adesso la generalizzazione di questo "passo", che dovrebbe portare ad esplicitare il risultato. Riassumiamo ciò che abbiamo fatto fino ad adesso:
PASSO 1: \( \displaystyle p_{n,k}= \sum_{j=0}^{k - 1}{\alpha^{j}p_{n-j-1,k-j}} = \sum_{j=0}^{k-1}{\binom{j}{0}\alpha^{j}p_{n-j-1,k-j}}\)
PASSO 2: \(\displaystyle p_{n,k} = \sum_{j=0}^{k-1}{(j+1)\alpha^{j}p_{n-j-2,k-j)}} = \sum_{j=0}^{k-1}{\binom{j+1}{1}\alpha^{j}p_{n-j-2,k-j)}}\)
Senza rifare la tabellina, cerchiamo di capire come sarà l'andamento al prossimo passo. Ricordiamoci inoltre della legge ricorsiva dei binomiali:
\( \binom{j}{j} + \ldots + \binom{j+h}{j} = \binom{j+h+1}{j+1} \)
I termini uguali si raccoglieranno allo stesso modo, e sommeremo i binomiali: il j-esimo termine (ricordiamoci che j parte da 0) al passo H avrà come coefficiente la somma dei (j+1) binomiali del (H-1)-esimo passo. Se non mi sono spiegato bene, uno schema fatto alla stregua di quello precedente è ben più esplicativo di me
Fatto sta che si vede/dimostra facilmente il seguente fatto:
Passo h: \( \displaystyle p_{n,k} = \sum_{j=0}^{k-1}{\binom{j+h}{h} \alpha^{j} p_{n-j-h-1, k - j}}\)
Adesso ci chiediamo: quanti "passi" vogliamo fare? Notiamo che il primo indice diminuisce, mentre il secondo rimane fermo. Fino a quando può scendere n, ossia il numero di persone? Di certo non può essere inferiore di k, il numero di persone che vorremmo fossero nate lo stesso giorno, per una questione concettuale (che faccio, scelgo 7 persone tra 4? Mmm...). Dunque, ci piacerebbe di far diventare i due indici (ossia le persone presenti e le persone nate lo stesso giorno) uguali, che è un caso limite. A questo proposito arriviamo fino al passo con \(h= n-k-1\) e ottengo:
\( \displaystyle p_{n,k} = \sum_{j=0}^{k-1}{\binom{j+n-k-1}{n-k-1} \alpha^{j} p_{k-j, k - j}}\)
Adesso noto che \(p_{n,n} = \alpha^{n-1}\): infatti il primo lo scelgo come mi pare, mentre gli altri hanno una probabilità alfa di capitare lo stesso giorno.
La legge diventa:
\( \displaystyle p_{n,k} = \sum_{j=0}^{k-1}{\binom{j+n-k-1}{n-k-1} \alpha^{j} \alpha^{k-j-1}} = \sum_{j=0}^{k-1}{\binom{j+n-k-1}{n-k-1} \alpha^{k-1}} \)
Sfruttiamo ancora la legge ricorsiva dei binomiali e portiamo fuori alfa, che è diventato indipendente dalla sommatoria:
\( \displaystyle p_{n,k} = \alpha^{k-1} \sum_{j=0}^{k-1}{\binom{j+n-k-1}{n-k-1}} = \alpha^{k-1} \binom{n-1}{n-k} = \alpha^{k-1} \binom{n-1}{(n-1) -(n-k)} = \alpha^{k-1} \binom{n-1}{k-1} = \frac{\binom{n-1}{k-1}}{365^{k-1}}\),
che è una formula esplicita per la probabilità richiesta.
