SNS 2002-2003 n3

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Omar93
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SNS 2002-2003 n3

Messaggio da Omar93 » 18 ago 2012, 17:05

Si scelgano a caso tre punti distinti tra i vertici di un poligono regolare
di 2002 lati (ogni terna di punti distinti ha la stessa probabilità di essere
scelta). Determinare la probabilità che i tre punti scelti siano a loro volta
vertici di
(a) un triangolo rettangolo;
(b) un triangolo ottusangolo;
(c) un triangolo acutangolo.
Testo nascosto:
Una mano?
(a)Essendo un poligono regolare è inscrittibile in una circonferenza. So che i triangoli hanno tutti i vertici appartenenti ad essa.
Se voglio che essi siano rettangoli allora ricordiamo che un triangolo rettangolo inscritto in una circonferenza ha necessariamente come ipotenusa un diametro. Viceversa per ogni diametro che prendo ho in tutto $ (n-2) $ punti che posso scegliere per avere un triangolo rettangolo. Quanti sono i diametri? n/2. Quindi tutti i miei triangoli rettangoli sono $ \frac{n (n-2)}{2} $.
E la probabilità $ p_r=1/667 $ essendo tutti i casi totali le combinazioni di n elementi presi 3 a 3.
(b)Prendiamo un triangolo rettangolo inscritto nella circonferenza. Prendo uno dei due vertici che è estremo del diametro. Sposto l'altro in modo che l'angolo retto aumenti. Ho ottenuto un triangolo ottusangolo. Vale necessariamente il viceversa? Si. Se prendo un triangolo ottuso allora ottengo per forza uno rettangolo. Inoltre presi due triangoli rettangoli diversi da essi non posso arrivare ad uno stesso triangolo ottuso.
Detto ciò prendiamo il nostro poligono con la sua circonferenza circoscritta. Prendiamo un vertice e da esso iniziamo a numerare tutti gli altri successivi da 1 ad n. Per simmetria scelgo ad esempio il diametro con 1 ed n/2 tanto non cambia nulla per determinare i triangoli ottusi. Creiamo il nostro triangolo rettangolo con un vertice i scelto a piacere(1<i<n/2) . Muovo ora ad esempio il vertice n/2. Allora ho come possibili vertici per avere un triangolo ottuso n/2-i-1. Dall'altra parte posso fissare il vertice n/2 e muovere quello 0. Ed ho come possibili vertici i-1-1. Sommando ho che per un triangolo rettangolo ci sono n/2-3 possibili ottusi. Ma gli abbiamo già contanti i triangoli rettangoli: essi sono $ \frac{n (n-2)}{2} $ . E gli ottusi sono in tutto $ \frac{n (n-2)}{2} (n/2-3) $ . E si trova la probabilità $ p_o $
(c)$ p_a=1-p_o-p_r $
$ 2^{43 112 609} - 1 $

Omar93
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Re: SNS 2002-2003 n3

Messaggio da Omar93 » 19 ago 2012, 00:20

Non vorrei disturbarvi ma dato che vorrei postare altri problemi potreste correggere la possibile soluzione?
Grazie mille
$ 2^{43 112 609} - 1 $

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