OliForum Matematico

Forse questo è un thread vecchio..ma vorrei postare la mia soluzione e chiederne consigli e conferme...

Su un treno, inizialmente senza passeggeri e formato da n carrozze, salgono k viaggiatori disponendosi in modo casuale e indipendente l'uno dall'altro. Qual è la probabilità che solo tre carrozze siano occupate da almeno un viaggiatore?

ho pensato a tutte le probabilità possibili come :

$ x=\binom{n}{k} $
dove k sono i passeggeri e n i vagoni e quindi tutte le combinazioni dei passeggeri rispetto ai vagoni.

$ y=\binom{n-3}{k} $
le probabilità che ci siano tre vagoni vuoti

con la negazione dei 3 vagoni(1-y) vuoti si assume che ci siano almeno 3 occupati da almeno un viaggiatore:

$ P=\left( \frac{1-y}{x} \right) =\left( \frac{1-\binom{n-3}{k} }{\binom{n}{k} } \right) $

l'ultima roba che hai scritto viene negativa praticamente sempre, e la probabilità che una probabilità di un evento sia minore di 0 è 0

forse dovrebbe essere uno meno tutta quella roba no?? così è compreso tra 1 e 0 e rientra nello standard

1-p > 1 se p<0, quindi non ci siamo ancora
è sbagliato il procedimento

Potrei sbagliarmi, ma a me viene
$\displaystyle \frac{\dbinom{n}{3}\dbinom{k}{2}}{\dbinom{k+n-1}{n-1}}$
Al nominatore ho il numero delle configurazioni che mi vanno bene: $ \dbinom{n}{3} $ è il numero di modi di prendere 3 carrozze nell'insieme delle $n$; $ \dbinom{k}{2} $ è il numero di modi di mettere tutti $k$ passeggeri in quelle 3 carrozze, senza che nessuna delle 3 rimanga vuota.
Al denominatore ho il numero delle configurazioni possibili, cioè il numero di modi di mettere $k$ passeggeri in $n$ carrozze (eventualmente lasciandone vuote alcune).
Più in generale, avendo un generico numero $1 \leq t\leq n$ di carrozze da occupare, il risultato sarebbe
$\displaystyle \frac{\dbinom{n}{t}\dbinom{k}{t-1}}{\dbinom{k+n-1}{n-1}}$

non capisco il binomio k su 2 a cosa serve...e come hai tirato fuori la configurazione al denominatore dal solo fatto che almeno 3 devono essere riempite!

trugruo ha scritto:1-p > 1 se p<0, quindi non ci siamo ancora
è sbagliato il procedimento

Cavolo eppure il ragionamento c'era...forse dovrei aggiungere il binomio(n,3)...ma non mi viene nulla in mente,..secondo voi è sbagliato il procedimento?

kalu ha scritto:$ \dbinom{k+n-1}{n-1} $ è il numero di modi di mettere tutti $k$ passeggeri in quelle 3 carrozze, senza che nessuna delle 3 rimanga vuota.

Non dovrebbe essere $ \displaystyle \binom{k}{2} $?

Robertopphneimer ha scritto:non capisco il binomio k su 2 a cosa serve

Per ricavarlo credo si possa usare la formula delle partizioni di un intero togliendo 3 passeggeri che sistemi prima uno per carrozza (così sei sicuro che le carrozze non sono vuote).

se usi il binomio di 2 classi su k non sarebbero le combinazioni di due passeggeri su k passeggeri?

Robertopphneimer ha scritto:se usi il binomio di 2 classi su k non sarebbero le combinazioni di due passeggeri su k passeggeri?

Sì però tu sai che ci sono $ \displaystyle \binom{n+k-1}{n-1} $ modi di disporre i k passeggeri su n carrozze. Allora se tu togli 3 passeggeri e li disponi su 3 carrozze diverse per essere sicuro che non rimangano vuote, rimangono k-3 passeggeri da disporre su 3 carrozze, e puoi disporli in $ \displaystyle \binom{3+(k-3)-1}{3-1} $ modi.....

Ooooopps....
perchè mi viene $ \displaystyle \binom{k-1}{2} $ e non $ \displaystyle \binom{k}{2} $ ??

auron95 ha scritto:

kalu ha scritto:$ \dbinom{k+n-1}{n-1} $ è il numero di modi di mettere tutti $k$ passeggeri in quelle 3 carrozze, senza che nessuna delle 3 rimanga vuota.

Non dovrebbe essere $ \displaystyle \binom{k}{2} $?

Si certo Edito.

Ho capito tutto(infatti l'errore nel testo mi confondeva!!) ma ho un problema...non sarebbe $ \binom{n}{k} $ modi di mettere k passeggeri in n carrozze senza contare l'ordine di essi??(se hai contato l'ordine allora la formula mi pare quasi giusta però dovrebbe essere n-k+1...scusate i dubbi ma è da 2 giorni che sbatto la testa on il calcolo combinatorio.

Robertopphneimer ha scritto:non sarebbe $ \binom{n}{k} $ modi di mettere k passeggeri in n carrozze senza contare l'ordine di essi?

Non può essere anche perchè se hai più passeggeri che carrozze $ \binom{n}{k} $ perde significato......

Avrebbe senso se tu potessi mettere al massimo 1 passeggero per carrozza, ma siccome tu puoi "stiparli" quanto vuoi....

sisi..capisco ma allora non basterebbe porre una disposizione senza usare il binomio di newton?? cioè D= n(n-1)....* (n-k+1)= n!/(n-k)

E se k>n? Quello che hai scritto perderebbe di significato.
Se hai le schede olimpiche, guardati la scheda "Conteggi classici 2" dove c'è la partizione di un intero che è esattamente lo stesso del problema delle carrozze (suddivedere un intero k in n addendi)