orologio digitale

[nic.h.97]

Questa gara `e iniziata (o almeno doveva iniziare) alle 14:00:00 e terminera' alle 16:00:00.
Durante lo svolgimento, l’ora `e costantemente indicata da un orologio digitale a 6 cifre (2
per le ore, 2 per i minuti, 2 per i secondi).
Determinare per quanti secondi, durante la gara, le 6 cifre indicate dall’orologio saranno
diverse.

preso dalla gara a squadre di genova 2004

volevo capire dove sbagliavo... allora io ho proceduto nel seguente modo:
l'unita' delle ore puo' assumere 2 valori diversi , il 4 e il 5 .
la decina delle ore puo' assumere 6 valori diversi , ma dovra' rispettare il fatto che dev'essere diversa dalle prime 2 cifre che la precedono, percio' 6-2.
l'unita' delle decine puo' assumere 10 valori diversi , ma dovra' essere diversa dalle prime 3 percio' 10-3 .
la decina dei secondi puo' assumere 6 valori diversi , ma dovra' essere diff. dalle prime 4 percio' puo assumere 6-4 valori.
infine abbiamo i secondi e per quanto detto prima , 10-5 .
concluco che $ 1*2*(6-2)*(10-3)*(6-4)*(10-5)=560 $
la soluzione è differente dalla mia... mi aiutate a capire dov'è che sbaglio?

[Alepedra96]

E' vero che la 3° cifra dovrà essere diversa dalle prime due, ma quando la 2° è 4, la terza può valere 5

P.S. E possibile che la soluzione sia 3360 oppure sbaglio anche io?

[nic.h.97]

E' vero che la 3° cifra dovrà essere diversa dalle prime due, ma quando la 2° è 4, la terza può valere 5

non ho capito bene ... se la 2^ cifra è 4 , allora la 3^ puo' assumere i valori 0 , 2 , 3 , 5 ovvero 4 valori puo' assumere

cmq no la soluzione non è 3360

[zeitgeist505]

se non mi sono totalmente fulminato dovrebbero essere 720, se è giusto posto il ragionamento

[Alepedra96]

Nooo, che stupido è vero che ci sono solo 60 minuti e non 100
comunque ho detto una cavolata prima
Rifacendolo viene anche a me 560 quindi aspettiamo delucidazioni da qualcuno di più bravo

[nic.h.97]

se non mi sono totalmente fulminato dovrebbero essere 720, se è giusto posto il ragionamento

si comunque è giusto. Ce lo spiegheresti?

[zeitgeist505]

Pongo WLOG l'orario della forma $ 14:XX:XX $
Definisco 2 insiemi $ A=\{0,2,3,5\} $ e $ B=\{6,7,8,9\} $ e siano $ a_1,a_2 \dots b_1,b_2\dots $ i loro elementi
la decina dei minuti sarà elemento di $ A $ $ 14:a_1X:XX $
l'unità dei minuti può essere elemento di $ A $ o $ B $, quindi ho 2 casi
(1) $ 14:a_1a_2:XX $
(2) $ 14:a_1b_1:XX $
allo stesso modo la decina dei secondi è elemento di $ A $
(1) $ 14:a_1a_2:a_3X $
(2) $ 14:a_1b_1:a_2X $
ma non è scontato che lo sia anche quella dei minuti, infatti nascono altri 2 casi:
(1) $ 14:a_1a_2:a_3a_4 $
(2) $ 14:a_1b_1:a_2a_3 $
(3) $ 14:a_1a_2:a_3b_1 $
(4) $ 14:a_1b_1:a_2b_2 $

ora calcolo le permutazioni sui 4 casi e sommo
(1) $ 4*3*2*1 =24 $
(2) $ 4*4*3*2 =96 $
(3) $ 4*3*2*4 =96 $
(4) $ 4*4*3*3 =144 $

$ tot=360 $


ricordando che ho trovato i casi favorevoli soltanto per la prima delle 2 ore, moltiplico per 2 ed ottengo $ 720 $