Numeri crescenti

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karotto
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Numeri crescenti

Messaggio da karotto » 12 giu 2012, 10:30

Un intero positivo si dice strettamente crescente se le cifre della sua rappresentazione decimale compaiono in ordine strettamente crescente. Ad esempio 1389 e 4567 sono strettamente crescenti, mentre 1335, 1327, e 9730 non lo sono.
Determinare quanti sono gli interi strettamente crescenti compresi tra 1000 e 9999.

Hawk
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Re: Numeri crescenti

Messaggio da Hawk » 12 giu 2012, 11:08

Prima considerazione: se la cifra delle migliaia è $ 7 $, $ 8 $ o $ 9 $ chiaramente non esiste alcun numero crescente.

1)Considero il caso in cui la cifra delle migliaia è uguale ad $ 1 $.
Suppongo che le centinaia abbiano cifra $ 2 $, le decine $ 3 $. Abbiamo quindi il numero $ 123x $, ora $ x $ può assumere 6 valori diversi. Aumentando la cifra delle decine di $ 1 $, il numero delle $ x $ diminuisce di 1.
Quindi rimanendo fisse la cifra delle centinaia e ruotando quelle delle decine in totale la $ x $ assume $ \frac{6\cdot 7}{2} $ valori.
Con lo stesso procedimento, faccio ruotare la cifra delle centinaia, quindi la $ x $ può assumere in totale ben:
$ \displaystyle \sum_{i=1}^6 \dfrac{i(i+1)}{2} $, che sarebbe poi il numero di numeri crescenti aventi come cifra delle migliaia 1. Scritto più comodamente
6+5+4+3+2+1,
5+4+3+2+1,
4+3+2+1,
3+2+1,
2+1,
1

2) Sfruttando sempre questo fatto si nota facilmente che sostituendo ruotando la cifra delle migliaia alcune delle somme scritte sopra scompaiono, se la cifra è uguale a $ 2 $, scompare la catena con il $ 6 $, se la cifra è uguale a $ 3 $, scompare la catena con il 5 e con il 6.

Con tutte queste affermazioni si deduce che il numero totale di numeri crescenti è:
$ \displaystyle \sum_{i=1}^6 (7-i)\dfrac{i(i+1)}{2}=126 $.
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Re: Numeri crescenti

Messaggio da Karl Zsigmondy » 12 giu 2012, 11:13

Oppure i numeri sono $ \binom{9}{4}=126 $, perché sono i modi di scegliere 4 numeri distinti da 1 a 9 (che poi possono essere ordinati in un solo modo).
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Re: Numeri crescenti

Messaggio da Hawk » 12 giu 2012, 11:15

Wow, potresti spiegare meglio come sei giunto a quel risultato, non ci avrei mai pensato.
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Re: Numeri crescenti

Messaggio da Karl Zsigmondy » 12 giu 2012, 11:29

Parti dal fatto che le 4 cifre sono distinte, quindi c'è una bigezione sostanzialmente fra i sottoinsiemi di {1,2,3,4,5,6,7,8,9} formati da 4 elementi e i numeri richiesti. Infatti ad ogni numero posso associare il sottoinsieme formato dalle 4 cifre distinte che lo costituiscono, e ad ogni sottoinsieme posso associare il numero se metto le cifre in ordine crescente. Quindi il risultato è uguale al numero di sottoinsiemi distinti di {1,2,3,4,5,6,7,8,9} formati da 4 elementi, che è proprio $ \binom{9}{4} $.
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Re: Numeri crescenti

Messaggio da Hawk » 12 giu 2012, 11:48

Ok, tutto chiaro, grazie mille per la spiegazione!
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