Quante lampadine!

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bĕlcōlŏn
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Quante lampadine!

Messaggio da bĕlcōlŏn » 17 mag 2012, 23:22

Ho due numeri $n$ e $k$ con $n\geq k$.
Ho $n$ lampadine in cerchio, inizialmente spente. L'unica mossa consentita è scegliere $k$ lampadine consecutive e cambiare il loro stato (gli stati sono due: spento e acceso). Trovare in funzione di $n$ e $k$ il numero di tutte le possibili configurazioni, fra le $2^n$ possibili, che si possono ottenere partendo da quella iniziale data, applicando una certa sequenza di mosse.
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Iceman93
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Re: Quante lampadine!

Messaggio da Iceman93 » 29 ago 2012, 12:34

Penso che la risposta sia $ 2^{ n-k+1 } $.

Immaginiamo di avere $ n $ lampadine in cerchio, tutte spente. Per la prima lampadina $ L_1 $, posso decidere se far sì che sia accesa o spenta: ciò che succede alle lampadine seguenti, per ora non mi interessa. Poi passo alla seconda $ L_2 $, e decido se accenderla o spegnerla, non curandomi di ciò che succede alle lampadine seguenti. Arrivato alla lampadina $ L_{ n-k+1 } $, la decisione che prendo influenza tutte le lampadine seguenti fino all'ultima, poichè tra la lampadina $ L_{ n-k+1 } $ e la lampadina $ L_n $, estremi compresi, vi sono $ [n-(n-k+1)+1]=[n-n+k-1+1]=k $ lampadine. Dunque non posso decidere circa lo stato delle lampadine seguenti.

Non so, aspetto risposte, non sono convintissimo della mia soluzione. Ho provato con un paio di casi semplici, e i conti tornano. Ad esempio, se $ n=k $, le possibilità sono $ 2^{ n-k+1 }=2^{ n-n+1 }=2 $, ovvero o tutte accese o tutte spente.
Se uno nasce quadrato, non può morire tondo.
Beh, in effetti la quadratura del cerchio è un problema ancora irrisolto.

Iceman93
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Re: Quante lampadine!

Messaggio da Iceman93 » 29 ago 2012, 12:55

EDIT: sono pochissimo convinto della mia soluzione XD
Se uno nasce quadrato, non può morire tondo.
Beh, in effetti la quadratura del cerchio è un problema ancora irrisolto.

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auron95
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Re: Quante lampadine!

Messaggio da auron95 » 29 ago 2012, 13:52

Io sono invece convinto che la tua sia un'ottima idea.
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Re: Quante lampadine!

Messaggio da Iceman93 » 29 ago 2012, 14:24

Dici? Boh, a me non convince XD

Attendo soluzioni altrui...
Se uno nasce quadrato, non può morire tondo.
Beh, in effetti la quadratura del cerchio è un problema ancora irrisolto.

Iceman93
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Re: Quante lampadine!

Messaggio da Iceman93 » 31 ago 2012, 16:31

Edit. La soluzione non è sicuramente quella descritta sopra. Ci sono alcuni casi in cui si possono ottenere tutte le combinazioni possibili... ci penso un po'.
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auron95
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Re: Quante lampadine!

Messaggio da auron95 » 31 ago 2012, 17:10

Quali casi? fammi un esempio di un caso con n e k che permettono di raggiungere tutte le $2^n$ combinazioni.
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Re: Quante lampadine!

Messaggio da auron95 » 31 ago 2012, 17:16

E' vero, n=4 k=3 permette tutte le combinazioni..... forse ll'unico problema è che se k è pari allora il numero di lampadine accese non può essere dispari? Ho paura che sia molto più complicato di quanto sembri.
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Re: Quante lampadine!

Messaggio da Iceman93 » 31 ago 2012, 18:15

Anche io ho la stessa paura... comunque penso che $ 2^n $si possa ottenere con tutte le coppie $ (n,k) $ con $ mcd(n,k)=1 $. Sono convinto che il $ mcd $ sia un elemento fondamentale per risolvere questo problema.
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Re: Quante lampadine!

Messaggio da auron95 » 31 ago 2012, 18:20

No, ad esempio n=2a+1 e k =2 puoi ottenere al massimo la metà delle configurazioni (quelle in cui le lampadine accese sono in numero pari).
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Re: Quante lampadine!

Messaggio da Iceman93 » 31 ago 2012, 18:22

C'è da pensarci, è molto piu difficile di quel che sembra.
Se uno nasce quadrato, non può morire tondo.
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Troleito br00tal
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Re: Quante lampadine!

Messaggio da Troleito br00tal » 16 set 2012, 20:35

Testo nascosto:
Definito $j=(n,k); r=\frac{n}{j}$, dimostriamo che le configurazioni sono $2^{n-j+1}$

Prima di tutto sicuramente il numero di configurazioni è $\le\ 2^{n-j+1}$, per questa simpatica invariante:
numeriamo le lampadine da $1$ a $j$. Le lampadine con il numero $i_1$ accese hanno la stessa parità delle lampadine accese con il numero $i_2$.

Dimostriamo ora che possiamo ottenere tutte quelle configurazioni, con questi algoritmi:
1) posso cambiare di stato $j$ lampadine consecutive: se accendo infatti $k$ lampadine "consecutivamente" prima o poi otterrò che rimarranno accese $j$ lampadine consecutive (per il fatto che l'ordine additivo di $k$ ha come minimo il gcd)
2) posso cambiare di stato 2 qualsiasi lampadine con lo stesso numero $i$ CONSECUTIVE: grazie a 1) questo segue se iteriamo il processo anche per le lampadine da $i$ a $i+j-1$ e da $i+1$ a $i+j$: avrò alla fine un cambio di $i$ e di $i+j$
3) posso cambiare di stato 2 qualsiasi lampadine con lo stesso numero $i$: reitero 2) ogni volta spostandomi di $j$
E ora ho vinto, perché se le lampadine sono pari segue subito, se invece sono dispari mi basta invertire una volta (ma proprio brutalmente e viene) $j$ lampadine consecutive e poi aggiustare.

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