la media dei più piccoli

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alunik
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la media dei più piccoli

Messaggio da alunik » 25 apr 2012, 20:17

Dato un insieme {1,2,3,...n}
si prenda l'elemento più piccolo fra tutti i sottoinsiemi di r elementi e se ne faccia la media.
Dimostrare che é esattamente $ \frac{n+1}{r+1} $
[tex]\equiv mergency[/tex]

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karlosson_sul_tetto
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Re: la media dei più piccoli

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 25 apr 2012, 21:26

Se $ r=1 $, la media sarà $ \frac{1+2+3...+n}{2} $ cioè $ \frac{n+1}{1+1} \cdot \frac{n}{2} $
Ho capito male io o...?
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alunik
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Re: la media dei più piccoli

Messaggio da alunik » 25 apr 2012, 21:45

se r=1 la media é n(n+1)/2n=(n+1)/2 che soddisfa.....
[tex]\equiv mergency[/tex]

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karlosson_sul_tetto
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Re: la media dei più piccoli

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 25 apr 2012, 21:50

Chiedo venia...
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Ertool
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Re: la media dei più piccoli

Messaggio da Ertool » 08 mag 2012, 16:43

Bhè, sono nuovo qui, proviamo a risolvere qualcosa, non siate cattivi :roll:
vabbè il numero di sottoinsiemi di cardinalità r è uguale a $ \displaystyle\binom{n}{r} $
Essendo gli elementi di questi sottoinsiemi distinti, il minimo elemento $ m $ di un sottoinsieme qualsiasi dovrà essere $ \le n-(r-1) $ essendoci altri $ r-1 $ elementi maggiori di $ m $
Adesso provo a calcolare la somma di tutti gli $ m $: per $ m=n-r+1 $ ci sono $ \displaystyle\binom{r-1}{r-1} $ sottoinsiemi, per $ m=n-r $ ci sono $ \displaystyle\binom{r}{r-1} $ sottoinsiemi etc... La somma di tutti gli m è data da:
$ \displaystyle\sum_{a=r-1}^{n-1}\binom{a}{r-1} (n-a) $
Quindi la media (aritmetica suppongo) è $ \frac{\displaystyle\sum_{a=r-1}^{n-1}\binom{a}{r-1} (n-a)}{\displaystyle\binom{n}{r}} $
Quindi se ora dimostrassi che $ \frac{\displaystyle\sum_{a=r-1}^{n-1}\binom{a}{r-1} (n-a)}{\displaystyle\binom{n}{r}}=\displaystyle\frac{n+1}{r+1} $ avrei finito giusto?

Mist
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Re: la media dei più piccoli

Messaggio da Mist » 08 mag 2012, 17:18

Ertool ha scritto:Bhè, sono nuovo qui, proviamo a risolvere qualcosa, non siate cattivi :roll:
vabbè il numero di sottoinsiemi di cardinalità r è uguale a $ \displaystyle\binom{n}{r} $
Essendo gli elementi di questi sottoinsiemi distinti, il minimo elemento $ m $ di un sottoinsieme qualsiasi dovrà essere $ \le n-(r-1) $ essendoci altri $ r-1 $ elementi maggiori di $ m $
Adesso provo a calcolare la somma di tutti gli $ m $: per $ m=n-r+1 $ ci sono $ \displaystyle\binom{r-1}{r-1} $ sottoinsiemi, per $ m=n-r $ ci sono $ \displaystyle\binom{r}{r-1} $ sottoinsiemi etc... La somma di tutti gli m è data da:
$ \displaystyle\sum_{a=r-1}^{n-1}\binom{a}{r-1} (n-a) $
Quindi la media (aritmetica suppongo) è $ \frac{\displaystyle\sum_{a=r-1}^{n-1}\binom{a}{r-1} (n-a)}{\displaystyle\binom{n}{r}} $
Quindi se ora dimostrassi che $ \frac{\displaystyle\sum_{a=r-1}^{n-1}\binom{a}{r-1} (n-a)}{\displaystyle\binom{n}{r}}=\displaystyle\frac{n+1}{r+1} $ avrei finito giusto?
Esatto, bravo, ora devi solo dimostrare l'ultima identità che hai scritto :)
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2

"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102

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kalu
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Re: la media dei più piccoli

Messaggio da kalu » 08 mag 2012, 21:08

Bravo Ert, soprattutto per aver imparato ad usare il LaTex in così poco tempo :D
Piccolo hint per concludrere:
Testo nascosto:
Pensa al triangolo di Tartaglia! Ogni elemento è la somma dei due sovrastanti...
Pota gnari!

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