binomiali

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alunik
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binomiali

Messaggio da alunik » 04 apr 2012, 22:17

Dimostrare:

1) $ \displaystyle{\sum_{k=1}^n \frac {(-1)^{k-1}} {k}\displaystyle\binom{n}{k}}=\displaystyle{\sum_{i=1}^n\frac {1} {i}} $

2) $ \displaystyle{\sum_{i=0}^n \frac {1} {\binom{n}{i}}}=\displaystyle{\frac {n+1} {2^{n+1}}\sum_{i=1}^{n+1}\frac {2^i} {i}} $
[tex]\equiv mergency[/tex]

Chuck Schuldiner
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Re: binomiali

Messaggio da Chuck Schuldiner » 10 apr 2012, 18:53

Intanto scrivo la prima. Faccio un'induzione su n:
PASSO BASE: vabbè
PASSO INDUTTIVO: Distinguo 2 casi:
-n dispari:$ \displaystyle{\sum_{k=1}^n \frac {(-1)^{k-1}} {k}\binom{n}{k}=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{n}{n-k} \cdot \frac {(-1)^{k-1}} {k}\binom{n-1}{k}+\frac{1}{n}=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k}{n-k} \cdot \frac {(-1)^{k-1}} {k}\binom{n-1}{k}+ \sum_{k=1}^{n-1}\frac {(-1)^{k-1}} {k}\binom{n-1}{k}+\frac{1}{n}=} $
$ \displaystyle{=\frac {1}{n}\sum_{k=1}^{n-1} (-1)^{k-1} \binom{n}{k}+\sum_{k=1}^n\frac {1} {k}=\frac {1}{n}\sum_{k=0}^{n} (-1)^{k-1} \binom{n}{k}+\frac{1}{n}\binom{n}{0}-\frac{1}{n}\binom{n}{n}+\sum_{k=1}^n\frac {1} {k}=\sum_{k=1}^n\frac {1} {k}} $
dove nel terzultimo passaggio ho usato l'ipotesi induttiva e nell'ultimo il fatto che la somma a segni alterni dei binomiali è 0.
-n pari: $ \displaystyle{\sum_{k=1}^n \frac {(-1)^{k-1}} {k}\binom{n}{k}=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{n}{n-k} \cdot \frac {(-1)^{k-1}} {k}\binom{n-1}{k}-\frac{1}{n}=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k}{n-k} \cdot \frac {(-1)^{k-1}} {k}\binom{n-1}{k}+ \sum_{k=1}^{n-1}\frac {(-1)^{k-1}} {k}\binom{n-1}{k}-\frac{1}{n}=} $
$ \displaystyle{=\frac {1}{n}\sum_{k=1}^{n-1} (-1)^{k-1} \binom{n}{k}+\sum_{k=1}^n\frac {1} {k}-\frac{2}{n}=\frac {1}{n}\sum_{k=0}^{n} (-1)^{k-1} \binom{n}{k}+\frac{1}{n}\binom{n}{0}+\frac{1}{n}\binom{n}{n}+\sum_{k=1}^n\frac {1} {k}-\frac{2}{n}=\sum_{k=1}^n\frac {1} {k}} $
https://www.youtube.com/watch?v=35bqkTIcljs

Mare Adriatico: fatto
tetto del Di Stefano: fatto
finestra del Verdi: fatto
lavandino del Cecile: fatto
Arno: fatto
Mar Tirreno: fatto
Mar Ionio: fatto
tetto del Carducci: fatto
mura di Pisa: fatto

ho fatto più allo scritto in normale che alla maturità \m/

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un pentacolo fatto col mio sangue
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