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Vengono lanciate $ k $ monete, chiaramente a due facce ovvero testa e croce, trovare la probabilità $ p $ che esca almeno $ m $ volte testa con $ m\leq k $.

Dicesi probabilità di un certo evento il rapporto tra i casi favorevoli a esso (c.f.) e i casi possibili (c.p.). Poiché l'uscita di testa o croce è equiprobabile, possiamo porre c.p.=2^k (due scelte possibili per la prima moneta, due per la seconda e così via). In questa situazione i casi favorevoli sono tutte le combinazioni possibili di teste e croci con m o più teste. Perciò dobbiamo fare la sommatoria di tutti gli i su k per i che va da m a k. Non mi viene in mente un modo più semplice per esprimerlo...

Quello che dici è giusto, ma esiste un modo chiuso e più semplice per esplicitare la probabilità.

Quindi sarebbe una forma chiusa per la sommatoria di bionomiali con stesso n troncata...

Non saprei, comunque il calcolo viene intricatissimo perchè, come Balossino, hai considerato le disposizioni con ripetizione, considera invece le combinazioni con ripetizioni. Io comunque prima di generalizzare mi sono fatto un caso con numeri piccoli.

Boh, non riesco a trovare una forma chiusa.
A me viene $\displaystyle 2^{-k}\sum_{i=m}^k\binom{k}{i}$

Va bene posto la soluzione.
Se vengono lanciate $ k $ monete il numero possibile di casi è $ \displaystyle\binom{n+k-1}{k} $, ma siccome gli elementi possibili sono $ 2 $, testa o croce si ha $ n=2 $ da cui: $ \displaystyle\binom{k+1}{k} $. La probabilità che esca almeno $ m $ volte testa è $ p=\frac{\displaystyle\binom{k+1}{k}-m}{\displaystyle\binom{k+1}{k}} $.

Ti faccio notare che quello che hai scritto corrisponde a $p=\displaystyle \frac{k-m}{k}$ che non mi sembra funzioni...

Perché? $ \displaystyle\binom{k+1}{k}=\displaystyle\frac{(k+1)!}{k!}=k+1 $, quindi $ p=\displaystyle\frac{k+1-m}{k+1} $.

Si hai ragione. Non so, forse il risultato è corretto, ma non so se va bene la dimostazione.
A me sembra che bisogni tenere conto dell'ordine, tu non ha tenuto conto dell'ordine nè nei casi favorevoli nè nei casi totali, che quindi magari si compensano, bisogna vedere quanto questo sia ammissibile senza essere spiegato.

Provando per k=4 e m=2, con la tua formula viene 3/5, mentre dovrebbe venire 11/16...

Hai ragione effettivamente è sbagliato, chissà perchè ero convinto che andava bene considerare le combinazioni (ennesima figuraccia).
Comunque grazie per avermi corretto.

Credo che non si riesca a trovare una forma chiusa...
(Auguri per mercoledì io credo proprio sprecherò il mio ultimo anno )

Secondo me a cesenatico ci arrivi benissimo

Grazie per l'augurio , ma soprattutto per la correzione se fosse capitato un problema sulla probabilità e sulle monete avrei sicuramente sbagliato, grazie ancora.