Ancora sulle monete

Conteggi, probabilità, invarianti, logica, matematizzazione, ...
Rispondi
Hawk
Messaggi: 306
Iscritto il: 20 mag 2010, 19:16
Località: Roma

Ancora sulle monete

Messaggio da Hawk » 28 gen 2012, 21:01

Vengono lanciate $ k $ monete, chiaramente a due facce ovvero testa e croce, trovare la probabilità $ p $ che esca almeno $ m $ volte testa con $ m\leq k $.
« Due cose hanno soddisfatto la mia mente con nuova e crescente ammirazione e soggezione e hanno occupato persistentemente il mio pensiero: il cielo stellato sopra di me e la legge morale dentro di me. »

Avatar utente
balossino
Messaggi: 103
Iscritto il: 20 mag 2011, 19:38

Re: Ancora sulle monete

Messaggio da balossino » 29 gen 2012, 19:35

Dicesi probabilità di un certo evento il rapporto tra i casi favorevoli a esso (c.f.) e i casi possibili (c.p.). Poiché l'uscita di testa o croce è equiprobabile, possiamo porre c.p.=2^k (due scelte possibili per la prima moneta, due per la seconda e così via). In questa situazione i casi favorevoli sono tutte le combinazioni possibili di teste e croci con m o più teste. Perciò dobbiamo fare la sommatoria di tutti gli i su k per i che va da m a k. Non mi viene in mente un modo più semplice per esprimerlo...

Hawk
Messaggi: 306
Iscritto il: 20 mag 2010, 19:16
Località: Roma

Re: Ancora sulle monete

Messaggio da Hawk » 29 gen 2012, 22:28

Quello che dici è giusto, ma esiste un modo chiuso e più semplice per esplicitare la probabilità.
« Due cose hanno soddisfatto la mia mente con nuova e crescente ammirazione e soggezione e hanno occupato persistentemente il mio pensiero: il cielo stellato sopra di me e la legge morale dentro di me. »

Claudio.
Messaggi: 697
Iscritto il: 29 nov 2009, 21:34

Re: Ancora sulle monete

Messaggio da Claudio. » 01 feb 2012, 14:07

Quindi sarebbe una forma chiusa per la sommatoria di bionomiali con stesso n troncata...

Hawk
Messaggi: 306
Iscritto il: 20 mag 2010, 19:16
Località: Roma

Re: Ancora sulle monete

Messaggio da Hawk » 01 feb 2012, 23:26

Non saprei, comunque il calcolo viene intricatissimo perchè, come Balossino, hai considerato le disposizioni con ripetizione, considera invece le combinazioni con ripetizioni. Io comunque prima di generalizzare mi sono fatto un caso con numeri piccoli.
« Due cose hanno soddisfatto la mia mente con nuova e crescente ammirazione e soggezione e hanno occupato persistentemente il mio pensiero: il cielo stellato sopra di me e la legge morale dentro di me. »

Claudio.
Messaggi: 697
Iscritto il: 29 nov 2009, 21:34

Re: Ancora sulle monete

Messaggio da Claudio. » 06 feb 2012, 17:28

Boh, non riesco a trovare una forma chiusa.
A me viene $\displaystyle 2^{-k}\sum_{i=m}^k\binom{k}{i}$

Hawk
Messaggi: 306
Iscritto il: 20 mag 2010, 19:16
Località: Roma

Re: Ancora sulle monete

Messaggio da Hawk » 06 feb 2012, 17:52

Va bene posto la soluzione.
Se vengono lanciate $ k $ monete il numero possibile di casi è $ \displaystyle\binom{n+k-1}{k} $, ma siccome gli elementi possibili sono $ 2 $, testa o croce si ha $ n=2 $ da cui: $ \displaystyle\binom{k+1}{k} $. La probabilità che esca almeno $ m $ volte testa è $ p=\frac{\displaystyle\binom{k+1}{k}-m}{\displaystyle\binom{k+1}{k}} $.
« Due cose hanno soddisfatto la mia mente con nuova e crescente ammirazione e soggezione e hanno occupato persistentemente il mio pensiero: il cielo stellato sopra di me e la legge morale dentro di me. »

Claudio.
Messaggi: 697
Iscritto il: 29 nov 2009, 21:34

Re: Ancora sulle monete

Messaggio da Claudio. » 06 feb 2012, 18:06

Ti faccio notare che quello che hai scritto corrisponde a $p=\displaystyle \frac{k-m}{k}$ che non mi sembra funzioni...

Hawk
Messaggi: 306
Iscritto il: 20 mag 2010, 19:16
Località: Roma

Re: Ancora sulle monete

Messaggio da Hawk » 06 feb 2012, 18:08

Perché? $ \displaystyle\binom{k+1}{k}=\displaystyle\frac{(k+1)!}{k!}=k+1 $, quindi $ p=\displaystyle\frac{k+1-m}{k+1} $.
« Due cose hanno soddisfatto la mia mente con nuova e crescente ammirazione e soggezione e hanno occupato persistentemente il mio pensiero: il cielo stellato sopra di me e la legge morale dentro di me. »

Claudio.
Messaggi: 697
Iscritto il: 29 nov 2009, 21:34

Re: Ancora sulle monete

Messaggio da Claudio. » 06 feb 2012, 18:15

Si hai ragione. Non so, forse il risultato è corretto, ma non so se va bene la dimostazione.
A me sembra che bisogni tenere conto dell'ordine, tu non ha tenuto conto dell'ordine nè nei casi favorevoli nè nei casi totali, che quindi magari si compensano, bisogna vedere quanto questo sia ammissibile senza essere spiegato.
Ultima modifica di Claudio. il 06 feb 2012, 18:30, modificato 1 volta in totale.

Claudio.
Messaggi: 697
Iscritto il: 29 nov 2009, 21:34

Re: Ancora sulle monete

Messaggio da Claudio. » 06 feb 2012, 18:29

Provando per k=4 e m=2, con la tua formula viene 3/5, mentre dovrebbe venire 11/16...

Hawk
Messaggi: 306
Iscritto il: 20 mag 2010, 19:16
Località: Roma

Re: Ancora sulle monete

Messaggio da Hawk » 06 feb 2012, 18:49

Hai ragione effettivamente è sbagliato, chissà perchè ero convinto che andava bene considerare le combinazioni (ennesima figuraccia). :oops:
Comunque grazie per avermi corretto.
« Due cose hanno soddisfatto la mia mente con nuova e crescente ammirazione e soggezione e hanno occupato persistentemente il mio pensiero: il cielo stellato sopra di me e la legge morale dentro di me. »

Claudio.
Messaggi: 697
Iscritto il: 29 nov 2009, 21:34

Re: Ancora sulle monete

Messaggio da Claudio. » 06 feb 2012, 19:04

Credo che non si riesca a trovare una forma chiusa...
(Auguri per mercoledì :D io credo proprio sprecherò il mio ultimo anno :cry: )

Mist
Messaggi: 542
Iscritto il: 01 gen 2011, 23:52
Località: Provincia di Milano

Re: Ancora sulle monete

Messaggio da Mist » 06 feb 2012, 19:13

Secondo me a cesenatico ci arrivi benissimo :P
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2

"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102

Hawk
Messaggi: 306
Iscritto il: 20 mag 2010, 19:16
Località: Roma

Re: Ancora sulle monete

Messaggio da Hawk » 06 feb 2012, 19:13

Grazie per l'augurio :D , ma soprattutto per la correzione se fosse capitato un problema sulla probabilità e sulle monete avrei sicuramente sbagliato, grazie ancora. :D
« Due cose hanno soddisfatto la mia mente con nuova e crescente ammirazione e soggezione e hanno occupato persistentemente il mio pensiero: il cielo stellato sopra di me e la legge morale dentro di me. »

Rispondi