Triangoli con perimetro fissato

Conteggi, probabilità, invarianti, logica, matematizzazione, ...
Rispondi
Avatar utente
razorbeard
Messaggi: 116
Iscritto il: 20 apr 2011, 16:28

Triangoli con perimetro fissato

Messaggio da razorbeard » 20 dic 2011, 19:44

Quanti sono i triangoli i cui lati hanno misura intera e il cui perimetro è 508?
E' un buon giorno... per morire

Claudio.
Messaggi: 697
Iscritto il: 29 nov 2009, 21:34

Re: Triangoli con perimetro fissato

Messaggio da Claudio. » 20 dic 2011, 20:29

I triangoli congruenti fra loro devono essere considerati uguali?

Avatar utente
razorbeard
Messaggi: 116
Iscritto il: 20 apr 2011, 16:28

Re: Triangoli con perimetro fissato

Messaggio da razorbeard » 21 dic 2011, 19:45

Il testo non lo specifica,io credo di si :roll:
E' un buon giorno... per morire

Claudio.
Messaggi: 697
Iscritto il: 29 nov 2009, 21:34

Re: Triangoli con perimetro fissato

Messaggio da Claudio. » 21 dic 2011, 20:43

Sono 5376?

Avatar utente
razorbeard
Messaggi: 116
Iscritto il: 20 apr 2011, 16:28

Re: Triangoli con perimetro fissato

Messaggio da razorbeard » 22 dic 2011, 06:27

Si,è esatto :D ... come hai ragionato?
E' un buon giorno... per morire

Claudio.
Messaggi: 697
Iscritto il: 29 nov 2009, 21:34

Re: Triangoli con perimetro fissato

Messaggio da Claudio. » 22 dic 2011, 13:19

Beh chiaramente la somma dei lati deve essere 508, e poi deve valere la disuguaglianza triangolare, che in questo caso possiamo riassumere in: tutti i lati minori di 254. Ora abbiamo che definiti due lati il terzo è già determinato. Quindi chiamiamo $a,b$ due lati qualsiasi deve valere $a+b>254$ e contemporaneamente $a,b<253$ quindi definito $b$ abbiamo $253-(254-b)$ possibilità per $a$. Puoi notare che facendo variare b da 1 a 253, otteniamo la somma da 1 a 252 cioè $\frac{252\cdot253}2=31878$ triangoli ordinati possibili, ora dobbiamo stabilire quali abbiamo contato più volte. Triangoli equilateri non ce ne sono, dobbiamo contare quelli iscosceli:$a=b\Rightarrow a>127$ cioè $253-127=126$ possibilità che vanno moltiplicati per 3 che sono le possibilità di scelta per i due lati congruenti quindi $31878-3\cdot126=31500$ triangoli scaleni che abbiamo contato $3!=6$ volte. Quindi $\frac{31500}6=5250$ a cui riaggiungiamo gli iscosceli $5250+126=5376$
Probabilmente ci sarà qualche passaggio inutile ma non mi andava di rivederlo ^^

ma_go
Site Admin
Messaggi: 1906
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Re: Triangoli con perimetro fissato

Messaggio da ma_go » 22 dic 2011, 15:31

c'è un altro modo di vedere la cosa:
Testo nascosto:
cosa si può dire di $(a+b-c)/2$, $(b+c-a)/2$ e $(c+a-b)/2$? hint: di solito si chiamano $x$, $y$ e $z$...

Claudio.
Messaggi: 697
Iscritto il: 29 nov 2009, 21:34

Re: Triangoli con perimetro fissato

Messaggio da Claudio. » 26 dic 2011, 12:44

Spiega :roll:

Rispondi