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Uno studente deve superare un test costituito da 10 domande : per ogni risposta giusta viene attribuito +1 punto, per ogni risposta sbagliata viene attribuito -1 punto, per ogni risposta lasciata 0 punti. Il test viene superato se il punteggio totale, ottenuto sommando i punteggi ottenuti nelle 10 domande, è almeno 5.
Diciamo che uno studente ha preparazione $p$ (con $0\leq p\leq 1$) se egli ha probabilità $p$ di rispondere correttamente alle singole domande.
Determinare, in funzione di $p$, la strategia che lo studente deve seguire (cioè il numero di domande alle quali provare a rispondere) per massimizzare la sua probabilità di superare il test. Calcolare anche tale probabilità(sempre in funzione di $p$).

Forse la mia soluzione è troppo semplice, in ogni caso gli conviene qualsiasi sia la probabilità (esclusi i casi 0 e 1 per cui è uguale) rispondere a 5 domande.

Rispondendo a 5 domande ha probabilità $ p^5 $ di passare.
Rispondendo a 6 domande ha probabilità $ p^6<p^5 $ di passare.
Rispondendo a 7 domande ha probabilità $ p^7+p^6(1-p) = p^6<p^5 $ di passare.
Rispondendo a 8 domande ha probabilità $ p^8+p^7(1-p) = p^7 < p^5 $ di passare.
Rispondendo a 9 domande ha probabilità $ p^9+p^8(1-p)+p^7(1-p)^2= p^7-p^8+p^9 = p^5( p^2 - p^3 +p^4 ) $ da cui la parte tra parentesi si vede facilemtne raccogliendo un $ p^2 $ che per $ p<1 $ è sempre minore di 1 poichè è una parabola che vale 1 in 1.
Rispondendo a 10 domande ha probabilità $ p^{10} + p^9(1-p) +p^8(1-p)^2 $ che si vede subito essere minore della probabilità con 9 risposte.

E infatti è falsa... Rispondendo a 7 domande ha probabilità $p^7+\binom76p^6(1-p) = p^6(7-6p)$ di passare. In generale però è vero che conviene sempre rispondere a $2n-1$ domande invece che a $2n$.

Adesso... Sotto con i conti!