Una sfida molto gettonata

[ale.G]

A e B fanno il seguente gioco. Su un tavolo ci sono inizialmente alcune colonne di monete.Ogni colonna contiene un certo numero di monete, che può eventualmente variare da colonna a colonna. A turno, ogni giocatore fa una e una sola delle seguenti possibili mosse:
$\displaystyle \cdot$ sceglie una colonna contenente un numero pari non nullo $2k$ di monete e la sostituisce con due colonne contenenti $k$ monete ciascuna
$\displaystyle \cdot$ leva dal tavolo tutte le colonne contenenti un numero dispari di monete
Nel caso non fosse possibile effettuare una mossa del primo tipo, il giocatore ne farà una del secondo tipo, e viceversa.
Inizia A, vince chi prende dal tavolo l'ultima moneta.
Per quali configurazioni iniziali A ha una strategia vincente?

[exodd]

sia $x_i$ il numero di monete contenute nella i-esima pila
Definiamo $a_i$ come la cardinalità dell'insieme $S_i$ definito come l'insieme delle pile tali che $2^i||x_i$
siano ora $a,b,c$ numeri naturali che valgano 0 o 1, tali che
$a=a_2+a_3+...$ (mod 2)
$b=a_1$ (mod 2)
e $c=1$ se $a_0>0$, altimenti $c=0$

Per ogni configurazione, calcoliamo $a+abc+c$ (mod 2)
Se il risultato è 1, la cnfigurazione è vincente, altrimenti è perdente

...
Il perchè, attualmente, sto cercando anch'io di capirlo..

[ale.G]

Io stavo approcciando il problema in maniera un po' diversa dalla tua...ho iniziato suddividendolo in casi:
-se sul tavolo ci sono $n$ colonne con $2k+1$ monete ciascuna, banalmente vince chi fa la prima mossa, cioè A.
-se sul tavolo ci sono $n$ colonne della forma $4k+2$ vince B.
-se sul tavolo ci sono $n$ colonne della forma $2k+1$ e $m$ colonne della forma $4k+2$ vince A.
Resta da determinare cosa succede con $n$ colonne da $4k$ monete, i casi piccoli sono semplici,con 4 monete sul tavolo vince A, con 8 monete anche,con 12 anche, e mi verrebbe da pensare che A vince per ogni configurazione iniziale della forma $4k$, ma non ho trovato un metodo efficace per generalizzare...

[exodd]

Io ho iniziato esattamente in quel modo, e quella che ho scritto sopra è la mia generalizzazione
(p.s. sono riuscito pure a dimostrarla)