Esercizi

[Omar93]

Ci sono 500 cassette di mele. Ciascuna cassetta contiene non più di x mele.
Si trovi il minimo (massimo?) valore di x tale che si possa essere sicuri che esistano 3 cassette con lo stesso numero di mele.

Dati 1000 interi, ne esistono almeno 2 la cui somma o la cui dierenza e uguale ad un
multiplo di 1997.

[ale.G]

Per il primo punto il numero massimo dovrebbe essere 248, il secondo punto non l'ho capito...

[exodd]

Il secondo punto è:
"Dati 1000 interi, dimostra che ce ne siano almeno due la cui somma o la cui differenza sia un multiplo di 1997"

[paga92aren]

Sedue numeri sono uguali la loro differenza e' un multiplo di 1997?

[fph]

Sì, perché $0=0\cdot 1997$ è un multiplo di 1997.

[Drago96]

Il secondo punto è:
"Dati 1000 interi, dimostra che ce ne siano almeno due la cui somma o la cui differenza sia un multiplo di 1997"

Ovviamente possiamo dire che se $x\equiv y\pmod n$ allora $x\equiv y-n\pmod n$ e altrettanto ovviamente $y-n<0$ .
Bene, applicando questa cosa a 1997 abbiamo i seguenti resti: 0,1,2...997,998,-998,-997...-2,-1,0.
Ora applichiamo il pigeonhole e vediamo che abbiamo 999 resti positivi e 1000 interi;
abbiamo due casi: il 1000° intero appartiene alla stessa classe di resto di uno dei primi 999, allora sottraiamo; se appartiene a una delle classi di resto negative, allora prendiamo il positivo corrispondente e sommiamo.

Dovrebbe andare, no?

[Drago96]

Per il primo punto il numero massimo dovrebbe essere 248

Anche a me viene così...
Invece direi che non ha molto senso chiedere il minimo, che è 1...

[ale.G]

Forse pure 0 (le cassette possono pure essere vuote...) se non fosse così 248 è errato...