Pulce su un cubo

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petroliopg
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Re: Pulce su un cubo

Messaggio da petroliopg » 25 lug 2012, 20:41

Boh, il ragionamento che ho fatto io è stato di trasporre brutalmente il discorso dalle due alle tre dimensioni.
preso un piano, partendo da $\ (0,0)$ per arrivare a $\ (a,b)$ potendo solamente incrementare man mano le coordinate, il percorso sarà lungo $\ a+b$ dunque si tratta solamente di considerare le combinazioni con cui posso scegliere gli a percorsi orizzontali o b percorsi verticali. in numeri la situazione si traduce in $\displaystyle \binom{a+b}{a} $
Nel caso di un quadrato di lunghezza n, sarà $\displaystyle \binom{2n}{n}$
Ora nelle tre dimensioni un ragionamento analogo porta a: parto da $\ (0,0,0)$ e voglio arrivare ad $\ (a,b,c)$. dunque supponendo sempre che posso solamente incrementare man mano le coordinate, il percorso sarà lungo $\ a+b+c$.
Ora i possibili percorsi saranno $\displaystyle \binom{a+b+c}{a} = \binom {a+b+c}{b+c}$
Ma questo risultato è traducibile nel piano come da $\ (0,0)$ a $\ (a,b+c)$. Credo che le combinazioni per arrivare ad $\ (a,b)$ siano contate due volte poiché supposto WLOG che $\ c \ge b$ allora il percorso per $\ (a,b)$ è incluso nel conteggio per arrivare ad $\ (a,c)$. Bisognerà sottrarre questo ai casi totali: $\displaystyle \binom{a+b+c}{a} - \binom{a+b}{b}$, o $\displaystyle \binom{a+b+c}{a} - \binom{a+c}{c}$ se $\ b \ge c$
Nel caso del cubo dunque sarà $\displaystyle \binom{3n}{n} - \binom{2n}{n}$.

(*)Ora si tratta infine di considerare che questo risultato "planare", può essere fatto più volte. Infatti mancano le scelte dei vari piani. La prima faccia la posso scegliere in 3 modi, la seconda in due (una faccia la si esclude poiché le coordinate aumentano solamente). In tutto ho dunque $\displaystyle 6 \cdot \left( \binom{3n}{n} - \binom{2n}{n} \right)$.

nel caso di un cubo di lato quattro dovrebbe essere a conti fatti: 2550.
(*) questa è la parte di cui sono meno sicuro. ho evitato di scrivere il ragionamento per il parallelepipedo poiché credo che i casi da analizzare visto che le facce sono congruenti a due a due, siano le tre permutazioni di percorsi planari considerati singolarmente (poiché credo non siano numericamente uguali, in generale) due volte.

PS io sono scarso in combinatoria. :roll:
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auron95
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Re: Pulce su un cubo

Messaggio da auron95 » 26 lug 2012, 08:08

Sì ..... :roll: non ho solo capito il passaggio dove togli delle combinazioni.... sarebbero quando la pulce viaggia su uno spigolo che lo conti considerando entrambe le facce adiacenti se non ho capito male..... ma come le ricavi??? :?: :?:

(Io l'avevo fatto in modo molto più "brutale", dividendo in mooolti sottocasi.......:wink:)
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petroliopg
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Re: Pulce su un cubo

Messaggio da petroliopg » 26 lug 2012, 09:46

spero d'aver capito la domanda XD (di mattina sono uno zombie che cammina)
dunque il fatto è che quando il problema lo consideri allo stesso modo delle due dimensioni, dalle tre dimensioni passi alle due nuovamente.
Immagine

ho considerato che preso $\ b \le c$ allora i casi da (0,0) ad (a,b) sono considerati un'altra volta nei casi da (0,0) a (a,c). Così li ho sottratti una volta...
naturalmente se $\ b \ge c$ avrei sottratto gli altri casi inclusi...
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Robertopphneimer
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Re: Pulce su un cubo

Messaggio da Robertopphneimer » 26 lug 2012, 11:59

Forse ho capito..cioè mettendolo il tutto su due dimensioni e poi trasportandolo su tre hai il problema che contando il passaggio da (0,0) a (a,b) sulle tre dimensioni hai da (0,0) ad (a,c) che è contato due volte poiché il percorso è medesimo..e perciò devi toglierne uno.
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Re: Pulce su un cubo

Messaggio da auron95 » 26 lug 2012, 12:04

Avevo pensato anch'io a sviluppare il cubo e ogni percorso occupa due facce.
Posso scegliere 6 diverse coppie di facce e per questo devo moltiplicare tutto per 6, e fin qui ok.

In totale avrei $ \displaystyle \binom{3n}{n} $ percorsi.

Adesso però sono arrivato a questo.....
Conto due volte tutti i percorsi in cui faccio interamente uno spigolo del cubo, se è uno spigolo iniziale ho tutti i percorsi della faccia successiva da togliere, lo stesso se è uno spigolo finale. Quindi devo togliere 6 volte $ \binom{2n}{n} $ perchè ho tre spigolo inizali e tre finali.

In totale $ \displaystyle 6\left[\binom{3n}{n}-\binom{2n}{n}\right] $

Però non sono riuscito a capire cosa intendessi per
petroliopg ha scritto: i casi da (0,0) ad (a,b) sono considerati un'altra volta nei casi da (0,0) a (a,c).
P.S se tu sei uno zombie che cammina io sono uno zombie che non ci pensa nemmano a muoversi.... :wink:
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Re: Pulce su un cubo

Messaggio da petroliopg » 26 lug 2012, 13:47

il ragionamento che hai fatto è simile al mio, solo che tu ti esprimi bene ed io no XD: io parto a considerare il caso in cui bisogna percorrere lo spigolo finale. il discorso è che conto il percorso fatto per arrivare da un vertice all'altro di una faccia e poi devo scalare le combinazioni della seconda faccia, poiché il percorso è definito ed unico... ho fatto un pastrocchio cercando di generalizzare sul parallelepipedo :oops:
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Re: Pulce su un cubo

Messaggio da Robertopphneimer » 26 lug 2012, 13:58

Con il ragionamento di auron è tutto più semplice!!
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