preso un piano, partendo da $\ (0,0)$ per arrivare a $\ (a,b)$ potendo solamente incrementare man mano le coordinate, il percorso sarà lungo $\ a+b$ dunque si tratta solamente di considerare le combinazioni con cui posso scegliere gli a percorsi orizzontali o b percorsi verticali. in numeri la situazione si traduce in $\displaystyle \binom{a+b}{a} $
Nel caso di un quadrato di lunghezza n, sarà $\displaystyle \binom{2n}{n}$
Ora nelle tre dimensioni un ragionamento analogo porta a: parto da $\ (0,0,0)$ e voglio arrivare ad $\ (a,b,c)$. dunque supponendo sempre che posso solamente incrementare man mano le coordinate, il percorso sarà lungo $\ a+b+c$.
Ora i possibili percorsi saranno $\displaystyle \binom{a+b+c}{a} = \binom {a+b+c}{b+c}$
Ma questo risultato è traducibile nel piano come da $\ (0,0)$ a $\ (a,b+c)$. Credo che le combinazioni per arrivare ad $\ (a,b)$ siano contate due volte poiché supposto WLOG che $\ c \ge b$ allora il percorso per $\ (a,b)$ è incluso nel conteggio per arrivare ad $\ (a,c)$. Bisognerà sottrarre questo ai casi totali: $\displaystyle \binom{a+b+c}{a} - \binom{a+b}{b}$, o $\displaystyle \binom{a+b+c}{a} - \binom{a+c}{c}$ se $\ b \ge c$
Nel caso del cubo dunque sarà $\displaystyle \binom{3n}{n} - \binom{2n}{n}$.
(*)Ora si tratta infine di considerare che questo risultato "planare", può essere fatto più volte. Infatti mancano le scelte dei vari piani. La prima faccia la posso scegliere in 3 modi, la seconda in due (una faccia la si esclude poiché le coordinate aumentano solamente). In tutto ho dunque $\displaystyle 6 \cdot \left( \binom{3n}{n} - \binom{2n}{n} \right)$.
nel caso di un cubo di lato quattro dovrebbe essere a conti fatti: 2550.
(*) questa è la parte di cui sono meno sicuro. ho evitato di scrivere il ragionamento per il parallelepipedo poiché credo che i casi da analizzare visto che le facce sono congruenti a due a due, siano le tre permutazioni di percorsi planari considerati singolarmente (poiché credo non siano numericamente uguali, in generale) due volte.
PS io sono scarso in combinatoria.
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