Strette di mano

[xXStephXx]

Durante una festa, quando un invitato ritrova un vecchio conoscente si salutano con una stretta di mano.

• Dimostrare che il numero di persone che stringono un numero dispari di mani è pari
• Dimostrare che, a fine festa, almeno due persone hanno stretto lo stesso numero di mani

(Conosco la soluzione esatta).

[Citrullo]

Chiamo $ n_i $ il numero di mani strette dalla i-esima persona e $ S $ il numero totale di strette di mano. Chiaramente vale $ \displaystyle S= \frac{ \sum_{i=1}^n n_i}{2} $ quindi $ \sum_{i=1}^n n_i $ è un numero pari, perciò continene un numero pari di addendi dispari.

Chiamerò $ m $ in numero di invitati. Suppongo per assurdo che ogni invitato stringa la mano ad un numero diverso di individui: le possibli $ n_i $ sono i numeri dell'insieme {$ 0,1,...,m-1 $} perchè nessuno si stringe la mano da solo. Questo insieme ha cardinalità $ m $ quindi dovrei poterlo associare in maniera biunivoca all'insieme {$ n_1,n_2,...,n_m $} ma ciò implica che $ \exists (i,j): n_i=0 $ e $ n_j=m-1 $ e ciò non può accadere perchè significherebbe che un invitato ha stretto la mano a tutti ed un'altro non l'ha stretta a nessuno.

[xXStephXx]

Tutto perfetto!! Complimenti xD

[Citrullo]

Grazie!