Vecchio cesenatico

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ale.G
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Vecchio cesenatico

Messaggio da ale.G » 21 giu 2011, 15:43

Per ogni numero naturale $n$ si ha $n!=1\cdot2\cdot...\cdot n$ il prodotti di tutti i numeri interi da $1$ a $n$.
Si dimostri che per ogni $n\geq3$ esistono $n$ interi positivi distinti $d_1,d_2,...,d_n$ divisori di $n!$ tali che: $n!=d_1+d_2+...+d_n$.
I tuoi problemi te li puoi anche tenere: a me, invece, non dispiacerebbe avere un camper come questo !

ileo83
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Re: Vecchio cesenatico

Messaggio da ileo83 » 21 giu 2011, 15:57

si faceva col pigeonhole principle?
Il vecchio conio OO

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exodd
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Re: Vecchio cesenatico

Messaggio da exodd » 21 giu 2011, 17:02

Huge Hint!
Testo nascosto:
Induction ;)
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
EvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
ispiratore del BTA

in geometry, angles are angels

"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"

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ale.G
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Re: Vecchio cesenatico

Messaggio da ale.G » 27 giu 2011, 09:01

In che modo questo problema può essere ricondotto al pigeonhole principle?
I tuoi problemi te li puoi anche tenere: a me, invece, non dispiacerebbe avere un camper come questo !

ghiroz
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Re: Vecchio cesenatico

Messaggio da ghiroz » 27 giu 2011, 16:59

Voglio dimostrare che per ogni $ n\geq 3 $ posso scrivere $ n! $ come somma di n termini distinti tutti divisori di n!, in modo tale che tra questi vi siano n-1 ed 1.
Dimostrazione per induzione:
Passo base : n=3
$ 3!=3+2+1 $
Passo induttivo:
Suppongo la tesi vera per n; ora voglio dimostrare che se è vera per n, lo è anche per n+1.
$ (n+1)!=(n+1)n!=(n+1)d_{n}+...+(n+1)(n-1)+n+1 $
Avremo così ottenuto n+1 termini distinti e divisori di (n+1)!

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ale.G
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Re: Vecchio cesenatico

Messaggio da ale.G » 28 giu 2011, 09:20

ghiroz ha scritto: Passo induttivo:
Suppongo la tesi vera per n; ora voglio dimostrare che se è vera per n, lo è anche per n+1.
$ (n+1)!=(n+1)n!=(n+1)d_{n}+...+(n+1)(n-1)+n+1 $
Avremo così ottenuto n+1 termini distinti e divisori di (n+1)!
Ehm...scusa ghiroz ma quest'ultimo pezzo non l'ho capito... :oops:
In che modo ti sei ricavato $(n+1)$ termini distinti e divisori di $(n+1)!$ ?
I tuoi problemi te li puoi anche tenere: a me, invece, non dispiacerebbe avere un camper come questo !

paga92aren
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Re: Vecchio cesenatico

Messaggio da paga92aren » 28 giu 2011, 11:00

Se per $n$ hai $d_1=1$ e $d_n=n-1$ e $d_i|n!$, con $n+1$ hai $d'_1=1$ (ultimo termine della somma di ghiroz), $d'_{n+1}=n$ (penultimo termine) e per tutti gli altri $d'_i=(n+1)d_i$ (tutti gli altri termini della somma). La somma fa $(n+1)!$, ogni termine divide $(n+1)!$ e sono tutti diversi tra loro.

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ale.G
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Re: Vecchio cesenatico

Messaggio da ale.G » 01 lug 2011, 10:41

Allora credo di aver capito male qualcosa...
se si moltiplica ogni addendo della somma che ci permette di arrivare a $n!$ per $(n+1)$, la somma farà $(n+1)!$, ma in questo caso non sono $n$ termini ?
infatti la somma è $(n+1)n! \rightarrow (n+1)d_1+(n+1)d_2+ \cdots +(n+1)d_n $
dove ho sbagliato :?:
I tuoi problemi te li puoi anche tenere: a me, invece, non dispiacerebbe avere un camper come questo !

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