Cubo

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pepperoma
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Cubo

Messaggio da pepperoma » 15 giu 2011, 23:47

Su ciascun vertice di un cubo è scritto un numero tra 1 e -1, mentre su ogni faccia è scritto il prodotto dei numeri ai suoi quattro vertici. Cambiando il segno al numero di qualche vertice, si può fare in modo che la somma di tutti i 14 numeri faccia 0?

pepperoma
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Re: Cubo

Messaggio da pepperoma » 15 giu 2011, 23:49

Chiarimento necessario (scusate): tra 1 e -1 sta per o 1 o -1, e non un numero compreso.

Omar93
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Re: Cubo

Messaggio da Omar93 » 17 giu 2011, 16:34

Secondo me no,ho fatto alcune prove immaginando prima tutti 1 e poi tutti -1 e cambiando i segni mi viene sempre un'eccesso di uno o dell'altro,mai 7.
$ 2^{43 112 609} - 1 $

Omar93
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Re: Cubo

Messaggio da Omar93 » 18 giu 2011, 12:45

E' giusto o sbagliato?
$ 2^{43 112 609} - 1 $

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balossino
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Re: Cubo

Messaggio da balossino » 18 giu 2011, 15:01

pepperoma ha scritto:Cambiando il segno al numero di qualche vertice, si può fare in modo che la somma di tutti i 14 numeri faccia 0?
intendi senza mantenere inalterati i numeri scritti sulle facce, vero?

sasha™
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Re: Cubo

Messaggio da sasha™ » 18 giu 2011, 15:04

Credo che la traccia sia: "Metto un 1 o un -1 su ogni vertice. Sulle facce ci va il prodotto. È possibile che la somma dei 14 numeri sia 0?".

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balossino
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Re: Cubo

Messaggio da balossino » 18 giu 2011, 15:14

Ok, ho capito il meccanismo. E' come il terzo problema di Cesenatico di quest'anno (l'unico che ho fatto completo :) ). Praticamente noi abbiamo una situazione iniziale, diciamo quella con vertici tutti + o tutti -. Le somme algebriche nei due casi sono +14 e -2, ma questo non è importante. L'importante è che si tratta di numeri pari la cui metà è dispari, nel linguaggio formale congrui a 2 modulo 4. Zero non è congruo a 2 modulo 4, perciò mi basta dimostrare che la congruenza si conserva. Ed è effettivamente così, visto che ogni mossa cambia lo "stato" di esattamente 4 numeri.

pepperoma
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Re: Cubo

Messaggio da pepperoma » 18 giu 2011, 16:23

Sì, è giusto: la somma è congrua a 2 mod 4 e quindi non può essere 0. E' un tipico esercizio con invarianti.

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