Probabilità ed integrali

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Citrullo
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Probabilità ed integrali

Messaggio da Citrullo » 07 giu 2011, 07:22

Qual'è la probabilità che, dati 3 punto a coordinate casuali (scelti veramente a caso) in un piano (infinito) essi siano i vertici di un triangolo ottusangolo.

Ho provato in un paio di modi ma mi vengono risultati sempre più assurdi :shock: Come si può impostare un problema del genere?
EDIT: probabilmente è un problema noto, se esiste già nel forum chiedo scusa ma non lo ho trovato!

amatrix92
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Re: Probabilità ed integrali

Messaggio da amatrix92 » 07 giu 2011, 13:02

Secondo me la probabilità è 1.
Il mio ragionamento è questo. Scelgo i primi due punti, giacchè questi primi due punti so dove sono, so anche che sono ad una distanza finita l'uno dall'altro. Inserisco un sitema di assi cartesiani in modo che il primo punto sia il punto $ ( 0 ; 0) $ e il secondo punto sia il punto $ ( 0 ; k) $. Vediamo le varie possibilità per il 3° punto:
1) sta nel quadrato che ha per diagonale il segmento che unisce i due punti, in questo caso è ottusangolo è l'area di questo quadrato è $ \displaystyle \frac {k^2}{2} $.
2) Sta nella fascia orizzontale compresa tra 0 e k non contenente il quadrato sopra citato, in questo caso è acutangolo è la sua area è $ \displaystyle \int_{\mathbb R} k dx - \frac {k^2}{2} $
3) Sta in qualsiasi altro punto, e in questo caso è ottusangolo, la sua area è $ \displaystyle \lim_{h \to \infty} \int_{\mathbb R} h dx - \int_{\mathbb R} k dx $. Ma, essendo $ k $ finito e $ h $ infinito, non c'è storia. Come anche intuitivamewnte si può vedere facendo un disegno l'area a disposizione per far venire il triangolo ottusangolo è infinitamente maggiore di quella di farlo veire acutangolo. Perciò andando a calcolare la prob che vengo acutangolo verrà $ p \to 0 $ e quindi la probabilità cercata è 1.

Edit: nel punto uno chiaramente non è un quadrato ma una circonferenza.. ma essendo finita l'area cambia poco.
Ultima modifica di amatrix92 il 07 giu 2011, 14:57, modificato 1 volta in totale.
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.

sasha™
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Re: Probabilità ed integrali

Messaggio da sasha™ » 07 giu 2011, 13:44

Io direi $3/4$.

La somma degli angoli interni è $π$, ovviamente. Considero il piano cartesiano $αOβ$. La parte di piano compresa fra le rette $α≤π/2$, $β≤π/2$ e $α+β≥π/2$ è un quarto di quella del triangolo compreso fra $α+β=π$ e gli assi, da cui si conclude facilmente.

max tre
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Re: Probabilità ed integrali

Messaggio da max tre » 07 giu 2011, 14:52

Secondo me dipende da come costruiamo il triangolo:
1) Posiziono i primi due vertici in A $ (0;-k) $ e B $ (0;k) $.
Ora affinché $ \triangle ABC $ sia ottusangolo può essere ottuso $ \hat{C} $, e questo si verifica quando C è interno alla circonferenza $ x^2+y^2=k^2 $ di area $ \pi k^2 $; $ \hat{A} $, e questo si verifica se C è a sinistra di A; o in $ \hat{B} $, e questo si verifica se C è a destra di A.
Per essere rettangolo C deve stare sulla circonferenza $ x^2+y^2=k^2 $ o deve essere di coordinate $ (\pm k;c) $.
Per essere acutangolo C deve stare nella striscia delimitata dalle rette $ x=-k $ e $ x=k $.
Ora, queste di queste tre aree una (quella per $ \triangle ABC $ rettangolo, ovvero circonferenza + rette) non è propriamente un'area, o se vogliamo $ \rightarrow 0 $.
Le altre due invece direi che sono infinite, anche se "ad occhio" direi che quella per $ \triangle ABC $ ottusangolo è infinitamente maggiore.
Ora, non me ne intendo e non voglio fare scherzi con gli infiniti, ma forse possiamo provare a prendere le quattro rette $ x=\pm \alpha $ e $ y=\pm \beta $ con $ \alpha ,\beta \rightarrow \infty $ (e ovviamente $ k<<\alpha $e calcolarle...
Così l'area per $ \triangle ABC $ ottusangolo verrebbe $ 4\alpha \beta -4k\beta+\pi k^2 $, mentre l'area per $ \triangle ABC $ acutangolo verrebbe $ 4k\beta -\pi k^2 $.
Ora, facciamo il confronto tra infiniti: $ lim_{\alpha ,\beta \rightarrow \infty} \frac{4\alpha \beta -(4k\beta -\pi k^2)}{4k\beta -\pi k^2}=lim_{\alpha ,\beta \rightarrow \infty} 4\alpha \beta -1=\infty $, ovvero l'area per $ \triangle ABC $ ottusangolo è un infinito di ordine superiore rispetto a quella per $ \triangle ABC $ acutangolo, ovvero è infinitamente più grande, quindi $ p\rightarrow 1 $.

2) Costruisco $ \triangle ABC $, questo sarà acutangolo se $ \hat{A} <\frac{\pi}{2} $ e $ \frac{\pi}{2}-\hat{A} <\hat{B} <\frac{\pi}{2} $.
Ora, la restrizione per $ \hat{A} $ porta già p a $ p<\frac{1}{2} $.
Invece $ \hat{B} $ può variare tra 0 e $ \pi -\hat{A} $; quindi la probabilità che sia soddisfatta anche la seconda restrizione è $ \frac{\frac{\pi}{2}-(\frac{\pi}{2}-\hat{A})}{\pi -\hat{A}}=\frac{\hat{A}}{\pi - \hat{A}} $. Ora, per calcolare questa quantità calcolo l'integrale da 0 a $ \frac{\pi}{2} $ di $ \frac{x}{\pi-x} $ e lo divido per $ \frac{pi}{2} $ (scusate, ma non so scrivere gli integrali), calcolandone così il valor medio. Vi risparmio i conti, alla fine esce $ V_m=2\ln 2-1\approx 0,38 $. Adesso ho cervello fuso quindi non ho presente se devo dividere per 2 o sottrarlo a 0,5, comunque esce un valore finito per $ \triangle ABC $ acuto, e quindi anche per $ \triangle ABC $ ottuso

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Re: Probabilità ed integrali

Messaggio da Nonno Bassotto » 07 giu 2011, 15:19

La risposta, che non ti soddisferà, è che il problema non è ben definito. Non esiste un modo unico di scegliere un punto a caso in un piano infinito (tantomeno tre).

Quando si affronta un problema del tipo "Preso un punto a caso in un quadrato, qual è la probabilità...", si fa un'assunzione implicita, ma matematicamente non banale. Si è cioè scelto di assegnare una distribuzione di probabilità sugli eventi possibili, determinata dall'area. In altre parole, si decide per gli scopi del problema che la probabilità che il punto stia in una regione R del quadrato sia proporzionale all'area di R. La costante di proporzionalità è determinata dal fatto che la probabilità di cadere all'interno del quadrato è per ipotesi 1.

La scelta di questa distribuzione di probabilità è ragionevole, ma non è in alcun modo unica. Ti faccio un esempio simile: dati due punti su una circonferenza, qual è la probabilità che la loro distanza sia maggiore del lato del triangolo equilatero inscritto? Due possibili ragionamenti:
  • Fisso il primo punto, chiamiamolo A. Il secondo punto B è determinato dall'angolo che AB forma con la tangente alla circonferenza in A. Quest'angolo varia tra 0 e 180 gradi, e AB risulta più lungo del lato del triangolo inscritto quando l'angolo è tra 60 e 120. Ne segue che la probabilità richiesta è 1/3.
  • Il segmento AB è più lungo del lato del triangolo equilatero inscritto se e solo se la sua distanza dal centro è maggiore di metà raggio. Pertanto la probabilità cercata è 1/2.
I ragionamenti sono entrambi legittimi, ma partono da assunzioni diverse sulla distribuzione di probabilità per due punti su una circonferenza.

Il problema è che solo in alcuni casi c'è una scelta più ovvia delle altre per la distribuzione di probabilità. Per la distribuzione di probabilità di un punto sul piano, una scelta ovvia non c'è. Uno sarebbe tentato di dare una distribuzione che assegni ad una regione R una probabilità proporzionale alla sua area, ma questo non è possibile, perché l'area del piano è infinita.

Insomma: ogni soluzione userà implicitamente una scelta di come assegnare le probabilità, come nell'esempio della circonferenza, e da scelte diverse verranno fuori soluzioni diverse.
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Re: Probabilità ed integrali

Messaggio da Citrullo » 07 giu 2011, 15:37

Cavolo hai ragione, non è molto soddisfacente! :roll:

Il problema lo ho trovato su un libro della collana "mondo matematico" che mi è stato regalato (facevano la pubblicità in televisione, non so se avete capito di quale parlo). Il punto è che qui vi si legge (cito testualmente):

"Il reverendo Charles Ludwig Dogson, noto come Lewis Carroll, l'autore del racconto di Alice, fu matematico e professore ad Oxford. La sua grande passione per la matematica ludica lo portò a progettare una collezione di libri che non completò, con il titolo di Curiosa Matematica. Nel secondo di questi, chiamato Pillow Problems, mostra il suo ingegno nel risolvere problemi, anche se il livello di difficoltà di questi va dal semplice scherzo [...] fino a difficoltà notevoli (dati tre punti a caso su un piano infinito, qual'è la probabilità che questi formino un triangolo ottusangolo?)."

Quindi alla luce di quanto hai spiegato, questa ingegnosa soluzione non è univoca ma si basa su di una qualche assunzione di come assegnare le probabilità a monte.. Ho capito bene?

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Re: Probabilità ed integrali

Messaggio da ileo83 » 07 giu 2011, 21:53

secondo me e' 1. scelti due punti, sia x la loro distanza.considerato il problema opposto, del triangolo acutangolo,bisogna scegliere un altro punto. la probabilita' che scelto tale punto l'angolo nel primo vertice sia acuto e' 1/2 (banale). per essere poi l'angolo nel secondo vertice acuto, secondo e terzo vertice devono distare al piu' x/sqrt(2). al contrario questo secondo angolo e' ottuso quando il terzo vertice viene scelto su una retta- il segmento di prima. pertanto, estendendo il piano all'infinito, integrando su x, la probabilita' dell'ottusangolo e' 1. ovviamente questo dopo aver scelto le opportune normalizzazioni 8)
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Re: Probabilità ed integrali

Messaggio da ileo83 » 07 giu 2011, 22:48

noto solo adesso di aver ragionato come amatrix92
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Re: Probabilità ed integrali

Messaggio da Nonno Bassotto » 08 giu 2011, 10:05

Citrullo ha scritto: Quindi alla luce di quanto hai spiegato, questa ingegnosa soluzione non è univoca ma si basa su di una qualche assunzione di come assegnare le probabilità a monte.. Ho capito bene?
Esatto. Ai tempi di Lewis Carroll, la probabilità non aveva ancora un fondamento matematico rigoroso. Probabilmente la soluzione che aveva trovato è una di quelle che state postando.

Molti problemi sorvolano sul problema di definire qual è la probabilità in gioco, perché c'è una scelta ovvia, ma in questo caso non c'è.
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Re: Probabilità ed integrali

Messaggio da Citrullo » 08 giu 2011, 14:44

Grazie, sei stato molto chiaro ed esauriente! :)

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Re: Probabilità ed integrali

Messaggio da Nonno Bassotto » 08 giu 2011, 16:39

Un caso simile è il paradosso seguente. Lo zio di Tizio e Caio muore e lascia in eredità due buste, dicendo soltanto che una contiene il doppio dell'altra. Il notaio dà una busta a Tizio, l'altra a Caio e dice loro che se vogliono possono scambiare le buste.

Tizio pensa: "Se io ho x, Caio deve avere 2x o x/2. Nel primo caso scambiando guadagno x, mentre nel secondo perdo x/2. Mi conviene cambiare". Caio fa lo stesso ragionamento, e così decidono di scambiare le buste. Ma dopo averle scambiate ci ripensano e vogliono scambiarle ancora...

Il problema in questo caso è lo stesso. Nelle buste ci sono le quantità x e 2x, in qualche ordine. Ma non sappiamo niente su quanto valga x, a parte che è un numero reale positivo. Se la distribuzione di probabilità fosse uniforme, cioè ogni valore di x fosse equiprobabile, il ragionamento di Tizio avrebbe senso. Ma non esiste una distribuzione di probabilità uniforme sui numeri reali positivi, perché la lunghezza della semiretta $ ]0, +\infty[ $ è infinita.

Quindi la distribuzione di probabilità per x - che non sappiamo - non sarà uniforme: ad esempio probabilmente possiamo assumere che x sia più piccolo della quantità di denaro in circolazione al mondo. A seconda della distribuzione di probabilità, il problema cambia. Ovvero, quando vedo che nella mia busta c'è x, non necessariamente i due casi che l'altra busta contenga 2x oppure x/2 saranno equiprobabili. E così il ragionamento di Tizio e Caio non funziona.

Il problema è analogo a quello dei punti sul piano: implicitamente si assume che ci sia una scelta preferenziale per le probabilità, invece non c'è.
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Re: Probabilità ed integrali

Messaggio da ileo83 » 08 giu 2011, 17:36

a bene dunque. c'e' un mucchio di info utile laggiu'.
hai fatto bene a favellare. grazie (vecchio). ^^

'^
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Re: Probabilità ed integrali

Messaggio da Nonno Bassotto » 08 giu 2011, 18:52

Parli un po' come Alex Delarge
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