combinazioni-lucchetto

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Homer J Simpson
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combinazioni-lucchetto

Messaggio da Homer J Simpson » 14 apr 2011, 00:01

Fabio trova un vecchio lucchetto a combinazione; per aprire il lucchetto bisogna allineare nell'ordine giusto tre cifre, ciascuna delle quali può variare da 0 a 9.
Fabio non ricorda la combinazione corretta, ma è sicuro che la somma delle cifre sia 10. Quanti tentativi dovrà fare, al massimo, per trovare la combinazione corretta?


stavo provando a risolverlo ma non mi tornava il risultato e l'ho mollato. poi però mi sono intestardito e mi sono detto che dovevo imparare a dimostrare matematicamente i miei risultati quindi :

$ x, y, z $ sono i miei numeri che posso disporre al più in 6 modi diversi

• dimostrazione della righa sopra:

se impongo che il primo numero sia $ x $ allora posso avere :

$ x , y , z $ oppure $ x , z , y $

se impongo che il primo numero sia $ y $ allora posso avere:

$ y , z , x $ oppure $ y , x , z $

se impongo che il primo numero sia $ z $ allora poso avere:

$ z , x , y $ oppure $ z , y , x $

i miei numeri variano da $ 0 $ a $ 9 $, possono ripetersi e l'unica legge da rispettare è che la somma $ x + y + z = 10 $.

il fatto di prima ci dice che per ogni combinazione x , y , z ne posso ottenere 6 solo invertendo l'ordine e che se scelgo x , y , z poi non posso scegliere
x = y , y = z , z = x ecc... perchè questi casi rientrano nelle 6 combinazioni.

• dimostrazione della frase subito sopra:

se impongo x = y posso avere:

x = y , y = z , z = x

x = y , y = x , z = z

lo posso ripetere con x = x e con x = z ed arrivo ad avere 2*2*2 = 6 terne uguali e così mi esaurisco le terne uguali (che sarebbe un'altro modo per dimostrare il numero delle combinazioni possibili).

ora il problema è trovare tutte le possibili coppie + 0 di numeri naturali che possono formare il numero 10 e tutte le possibili terne di numeri naturali che possono formare il numero 10.

una volta fatto devo moltiplicare per il numero di combinazioni possibili.

proviamo prima con le coppie + 0

0 + 1 + 9
0 + 2 + 8
0 + 3 + 7
0 + 4 + 6
0 + 5 + 5

quindi 5 * 6 = 30

proviamo con le terne:

1 + 1 + 8
1 + 2 + 7
1 + 3 + 6
1 + 4 + 5

2 + 2 + 6
2 + 3 + 5
2 + 4 + 4

3 + 3 + 4

quindi 8 * 6 = 48

quindi un totale di 30 + 48 = 78


ma perchè le uniche soluzioni possibili sono :

(A) 61, (B) 63, (C) 65, (D) 67, (E) 69.

p.s.

quella che ho fatto può andare bene come dimostrazione per un'esercizio?
ho dimostrato che le combinazioni possibili sono 78 o non ho dimostrato niente?
Ultima modifica di Homer J Simpson il 14 apr 2011, 15:54, modificato 1 volta in totale.
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flexwifi
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Re: combinazioni-lucchetto

Messaggio da flexwifi » 14 apr 2011, 10:27

Dovrebbe andare bene a parte il fatto che quando hai 2 numeri che si ripetono hai solo 3 modi di disporli anziche' 6.
Quindi il totale delle combinazioni possibili dovrebbe essere (8x6+5x3)=63 e quindi immagino che devi fare al massimo 62 tentativi prima di conoscere con certezza la combinazione che apre il lucchetto.

max tre
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Re: combinazioni-lucchetto

Messaggio da max tre » 14 apr 2011, 15:24

Se $ x,y,x $ possono essere anche 10 il problema equivale a trovare in quanti modi puoi annerire 2 quadratini tra 12:
$ \square \square \square \square \square \square \square \square \square \square \square \square $
Infatti rimarrano 10 quadratini bianchi e la lunghezza delle 3 serie di quadratini bianchi rappresentano $ x,y,z $
Nel problema originale bisogna escludere i casi in cui uno tra $ x,y,z $ è 10, cioè 3 casi (corrispondenti a quando annerisci le prime 2 caselle, le ultime 2 o la prima e l'ultima): (10,0,0) (0,10,0) (0,0,10)
Quindi le diverse combinazioni sono $ \binom{12}{2}-3=66-3=63 $
Ovvero Fabio può sapere qual è la combinazione corretta, mal che vada, dopo il 62° tentativo

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Drago96
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Re: combinazioni-lucchetto

Messaggio da Drago96 » 14 apr 2011, 15:42

max tre ha scritto:Se $ x,y,x $ possono essere anche 10 il problema equivale a trovare in quanti modi puoi annerire 2 quadratini tra 12:
$ \square \square \square \square \square \square \square \square \square \square \square \square $
Infatti rimarrano 10 quadratini bianchi e la lunghezza delle 3 serie di quadratini bianchi rappresentano $ x,y,z $
Nel problema originale bisogna escludere i casi in cui uno tra $ x,y,z $ è 10, cioè 3 casi (corrispondenti a quando annerisci le prime 2 caselle, le ultime 2 o la prima e l'ultima)
Quindi le diverse combinazioni sono $ \binom{12}{2}-3=66-3=63 $
Ovvero Fabio può sapere qual è la combinazione corretta, mal che vada, dopo il 62° tentativo
Wow, bella dimostrazione! :o
Non ci avrei mai pensato (ciò dimostra che ho ancora mooolto da imparare...)
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max tre
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Re: combinazioni-lucchetto

Messaggio da max tre » 14 apr 2011, 15:57

beh, non è proprio tutta farina del mio sacco, senza una "spintarella" iniziale un po' di tempo fa non mi sarebba mai passata per la mente un'idea del genere
l'importante è capirle e saperle tirare fuori anche quando non si presentano in maniera così evidente

Homer J Simpson
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Re: combinazioni-lucchetto

Messaggio da Homer J Simpson » 14 apr 2011, 16:22

max tre ha scritto:Se $ x,y,x $ possono essere anche 10 il problema equivale a trovare in quanti modi puoi annerire 2 quadratini tra 12:
$ \square \square \square \square \square \square \square \square \square \square \square \square $
Infatti rimarrano 10 quadratini bianchi e la lunghezza delle 3 serie di quadratini bianchi rappresentano $ x,y,z $
Nel problema originale bisogna escludere i casi in cui uno tra $ x,y,z $ è 10, cioè 3 casi (corrispondenti a quando annerisci le prime 2 caselle, le ultime 2 o la prima e l'ultima): (10,0,0) (0,10,0) (0,0,10)
Quindi le diverse combinazioni sono $ \binom{12}{2}-3=66-3=63 $
Ovvero Fabio può sapere qual è la combinazione corretta, mal che vada, dopo il 62° tentativo

ma tu sei un genio! :shock:

potresti spiegarmi la tua soluzione come lo si farebbe ad un vecchio con l'alzheimer perchè io non ci arrivo :oops:

p.s.

io sono un paio di mesi che spulcio qua e la le dispense e cerco di fare tutti gli esercizi sul mio libro, a scuola non ho problemi.
settimana scorsa ho scaricato tutte le schede dei giochi di archimede dal 96 ad oggi, tutte le schede di febraio e quello che c'era di cesenatico... per ora stò facendo solo archimede e i miei risultati variano da 60 a 80 ma per certe cose quando leggo la domanda rimango li immobile con in testa il vuoto, mi viene lo sclero in quei momenti, possibile che degli esercizi così "semplici" (perchè quelli di archimede dovrebbero essere l'abc per iniziare ad allenarsi) non riesco a farli?

è una cosa normale? a voi capitava o capita?
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Re: combinazioni-lucchetto

Messaggio da max tre » 14 apr 2011, 16:46

Homer J Simpson ha scritto: ma tu sei un genio! :shock:
come già detto, non è tutta farina del mio sacco, quindi non ci trovo niente di geniale (magari fosse stata un'idea tutta mia...)
l'impostazione della tua soluzione era sostanzialmente corretta, dovevi solo fare attenzione (come diceva flexwifi) a quando in una "coppia" o in una "terna" (come le hai chiamate te, in realtà son tutte terne) un numero si presenta 2 volte - tipo(2,4,4) - puoi avere riordinare in maniera differente la terna in3 maniere e non in 6: infatti la terna (2,4,4) può essere riordinata in maniera diversa solo come (4,2,4) o (4,4,2)
Tra le tue "coppie" 1 presentava un numero ripetuto, quindi avevi $ 4\cdot6 +3=27 $ combinazioni
Tra le tue "terne" 4 presentavano un numero ripetuto, quindi avevi $ 4\cdot 6+4\cdot 3=36 $ combinazioni
In tutto, hai 27+36=63 combinazioni diverse
Se, per assurdo (visto che 10 non è divisbile per 3), ci fosse stata una terna con 3 numeri ugali, non avresti dovuto moltiplicare proprio questa, ora dovrebbe esserti chiaro perché

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Re: combinazioni-lucchetto

Messaggio da max tre » 14 apr 2011, 17:31

Homer J Simpson ha scritto: io sono un paio di mesi che spulcio qua e la le dispense e cerco di fare tutti gli esercizi sul mio libro, a scuola non ho problemi.
settimana scorsa ho scaricato tutte le schede dei giochi di archimede dal 96 ad oggi, tutte le schede di febraio e quello che c'era di cesenatico... per ora stò facendo solo archimede e i miei risultati variano da 60 a 80 ma per certe cose quando leggo la domanda rimango li immobile con in testa il vuoto, mi viene lo sclero in quei momenti, possibile che degli esercizi così "semplici" (perchè quelli di archimede dovrebbero essere l'abc per iniziare ad allenarsi) non riesco a farli?
è una cosa normale? a voi capitava o capita?
intanto, di che libro parli?
se è quello di scuola, per le olimpiadi può servirti al massimo geometria del biennio e qualcosa sulle equazioni di secondo grado (non sto dicendo che non debba fare esercizi normali, è che - per le gare di matematica - non serve ammazzarsi facendo tutti gli esercizi di tipo scolastico)
per quanto riguarda archimede, al biennio mi pare di ricordare di aver fatto qualcosa attorno agli 80 punti (in prima forse 75-76, in seconda 80-81, in ogni quanto bastava per vincere a scuola mia), ma senza alcun tipo di preparazione e praticamente senza sapere a cosa andassi incontro (infatti in prima a febbraio ho lasciato i 2 dimostrativi sostanzialmente in bianco e ho raccimolato qualche punto - non so quanti, ma pochi - sulle crocette)
comunque, mi sembra di ricordare che gli archimede una volta fossero più difficili, in particolare negli ultimi 2 anni il livello si è abbassato tantissimo (anche la gara di febbraio mi pare più semplice di un paio di anni fa, ma il calo non è stato esponenziale come per archimede - o forse sono io che andando avanti con gli anni ho un po' più di esperienza - )
comunque sia, capita sempre qualche esercizio che pare banalotto (e si è convinti che sia così) ma che non sai come prenderlo; in genere tralascio e rivedo alla fine, sennò mi innervosisco e sbaglio pure gli altri (comunque è inevitabile non ripensarci, ma almeno ti dici: "ci ho pensato poco, magari dopo viene")

Homer J Simpson
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Re: combinazioni-lucchetto

Messaggio da Homer J Simpson » 16 apr 2011, 21:37

ciao, scusami ma in questi giorni non mi sono più connesso :oops:
comunque per risponderti, io mi sono scaricato quando ho fatto l'iscrizione le 80 pagine del programma per le olimpiadi e in questi mesi l'ho sfogliato un pò, gli esercizzi faccio quelli del mio libro di scuola e anche quelli che sono sul programma che ho scaricato, comunque il mio di prima era solo un messaggio per sapere se gli utenti di questo forum avevano le stesse difficoltà di me, (so che sono solo all'inizio e che non posso pretendere di fare tutto giusto :D )
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