26° Gara Matematica "Città di Padova" - 6

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max tre
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26° Gara Matematica "Città di Padova" - 6

Messaggio da max tre » 30 mar 2011, 15:26

Alla fine del girone di andata di un torneo di calcio la somma dei punti ottenuti dalle varie squadre è 105.
Quante possono esser state le partite finite con un pareggio?
(Ogni squadra ottiene 1 punto per ogni pareggio, 3 punti per ogni vittoria, 0 punti per ogni sconfitta)

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LukasEta
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Re: 26° Gara Matematica "Città di Padova" - 6

Messaggio da LukasEta » 30 mar 2011, 16:28

Ci sono state $n(n-1)/2$ partite, dove $n$ è il numero di squadre che hanno partecipato al torneo.
Per ogni partita finita in parità, il punteggio totale è salito di 2 punti (1 per ognuna delle due squadre), mentre per ogni altra partita il punteggio totale è salito di 3 punti (3 alla vincitrice, 0 alla perdente).

Se il punteggio finale è di 105 punti, e chiamo $P$ il numero di partite finite in parità e $V$ il numero delle partite con una sconfitta e una vincitrice, avrò:

$2P+3V=105$

Inoltre $(P+V)$ si deve poter scrivere nella forma $n(n-1)/2$ per un qualche intero $n$.

Quindi, sostituendo $2(n)(n-1)/2$ con $(2P+2V)$, avrò $2\cdot(n)(n-1)/2 + V =105$ , cioè $(n)(n-1)=105-V$.

Ci si chiede quindi quanti interi positivi minori o uguali di 105 possono essere scritti come prodotto di due interi consecutivi.
Siccome $11\cdot 10 > 105$ e $10\cdot9 < 105$, posso scegliere $n$ a patto che sia $1\leq n\leq 10$.

A ognuna di queste $n$ posso associare una $P$ ,semplicemente sostituendo nella formula che mette in relazione $n$ a $P$ e $V$. (ora non ho voglia di farlo xD). Comunque il numero di partite finite con un pareggio si può quindi scegliere in $10$ modi diversi.
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Re: 26° Gara Matematica "Città di Padova" - 6

Messaggio da Il_Russo » 02 apr 2011, 20:04

10 modi sono un po' troppi, ma ce n'è più d'uno :)
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LukasEta
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Re: 26° Gara Matematica "Città di Padova" - 6

Messaggio da LukasEta » 03 apr 2011, 17:21

Sì hai ragione...domanda forse stupida: ogni configurazione deve essere "provata"? Cioè, una volta che ho trovato che le soluzioni possono essere entro un certo range di interi, devo trovare una configurazione valida per ognuno di questi interi perchè la dimostrazione sia valida? (non so quanto la domanda sia chiara xD)
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Re: 26° Gara Matematica "Città di Padova" - 6

Messaggio da Il_Russo » 03 apr 2011, 23:00

In realtà sì, sempre, quando hai escluso roba impossibile devi far vedere una costruzione per i casi possibili, ma qui è abbastanza banale, perché le varie partite non sono tra loro in alcuna relazione. Comunque, la soluzione finale?
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LukasEta
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Re: 26° Gara Matematica "Città di Padova" - 6

Messaggio da LukasEta » 03 apr 2011, 23:56

LukasEta ha scritto:Ci sono state $n(n-1)/2$ partite, dove $n$ è il numero di squadre che hanno partecipato al torneo.
Per ogni partita finita in parità, il punteggio totale è salito di 2 punti (1 per ognuna delle due squadre), mentre per ogni altra partita il punteggio totale è salito di 3 punti (3 alla vincitrice, 0 alla perdente).

Se il punteggio finale è di 105 punti, e chiamo $P$ il numero di partite finite in parità e $V$ il numero delle partite con una sconfitta e una vincitrice, avrò:

$2P+3V=105$

Inoltre $(P+V)$ si deve poter scrivere nella forma $n(n-1)/2$ per un qualche intero $n$.

Quindi, sostituendo $2(n)(n-1)/2$ con $(2P+2V)$, avrò $2\cdot(n)(n-1)/2 + V =105$ , cioè $(n)(n-1)=105-V$.

Ci si chiede quindi quanti interi positivi minori o uguali di 105 possono essere scritti come prodotto di due interi consecutivi.
Siccome $11\cdot 10 > 105$ e $10\cdot9 < 105$, posso scegliere $n$ a patto che sia $1\leq n\leq 10$.

A ognuna di queste $n$ posso associare una $P$ ,semplicemente sostituendo nella formula che mette in relazione $n$ a $P$ e $V$. (ora non ho voglia di farlo xD). Comunque il numero di partite finite con un pareggio si può quindi scegliere in $10$ modi diversi.
$V=105-n(n-1)$
Deve essere $V\leq n(n-1)/2$,perchè il numero di partite finite senza parità non può certo superare il numero di partite complessive, date $n$ squadre. Gli unici $1\leq n \leq 10$ che rispettano la condizione sono $n=9, n=10$. (infatti per $n=8$, $V=49>8\cdot 7 /2$, e a maggior ragione per $n$ inferiori avremo una $V$ molto maggiore di $n(n-1)/2$)

-Allora per $n=9$,$V=33$, $P=3$---> punteggio totale = $33\cdot 3+ 3\cdot 2= 105$ <--- Configurazione possibile con 3 Pareggi.
-Per $n=10$ , $V=15$, $P=30$---> punteggio totale = $ 15\cdot 3 + 30\cdot 2 =105 $<---- Configurazione possibile con 30 Pareggi.

Ci possono essere stati 3 o 30 pareggi.
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max tre
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Re: 26° Gara Matematica "Città di Padova" - 6

Messaggio da max tre » 03 apr 2011, 23:58

giusto!

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