Sempre ammesso che non mi stia sbagliando anch'io, direi che il risultato sia $ \frac14 $ anche per la sfera.
Il problema segnalato da staffo in effetti esiste (essenzialmente, non tutti i possibili $ \alpha $ sono equiprobabili, perchè per ottenere $ \alpha $ "veramente grande" devi stare "veramente vicino" al segmento delimitato da AB, e questa parte di sfera sarà piccola), però si può aggirarlo.
L'idea è che, fissata una qualunque circonferenza $ \Gamma $ sulla sfera e presi i tre punti su $ \Gamma $, la probabilità che quei tre formino un triangolo acutangolo è 1/4, e quindi, dato che su una qualche circonferenza capitano per forza, la probabilità complessiva è 1/4.
Attenzione: da qui in poi la faccenda diventa leggermente non elementare. Invito comunque tutti a leggere, ed a non preoccuparsi se non si capisce niente (anche perchè non so spiegare
)Un modo di vedere questo fatto potrebbe essere il seguente: ad ogni terna di punti (x,y,z) associo
- il punto w sulla sfera equidistante da x,y,z (in realtà ne esistono due: scegliamo quello più vicino al piano identificato da x,y,z);
- la distanza k del piano (x,y,z) da w;
e questi due dati identificano la circonferenza su cui devono giacere i tre punti;
- tre angoli che identifichino i punti sulla circonferenza scelta.
Ora, w è scelto sulla sfera in modo uniforme, mentre k è scelto nell'intervallo $ [0,2r] $ con una probabilità che non è uniforme (è molto difficile ottenere k vicino a 0 o 2r, come per voi era difficile ottenere alfa molto grande o molto vicino a zero. Il vantaggio dell'approccio che vi sto facendo vedere è che k varia tra 0 e 2r indipendentemente dalla scelta di w, mentre la dipendenza del vostro alfa minimo dai primi due punti scelti era piuttosto complicata).
Quello che si può dimostrare (e che spero sia credibile) è che esiste una certa funzione - la distribuzione di k, chiamiamola $ \rho $ - tale che la probabilità di avere k nell'intervallo [a,b] sia $ \displaystyle \int_a^{b} \rho(u) du $.
Pensate a $ \rho(u) $ come alla probabilità di ottenere k esattamente uguale ad u: naturalmente nel caso continuo questa affermazione non ha senso - la probabilità di ottenere un certo valore preciso è zero -, ma vi può aiutare a capire cosa sta succedendo, e potete cercare analoghi nel caso di un numero finito di casi (ad esempio, per il lancio di un dado, la distribuzione $ \rho(u) $ sarebbe la funzione che vale 1/6 per u=1,2,...,6 e 0 altrimenti, di modo che la probabilità di avere un risultato tra $ a $ e $ b $ risulta $ \displaystyle \sum_{u=a}^b \rho(u) $).
Quello che sicuramente è convincente è che una tale funzione dovrà rispettare $ \displaystyle \int_0^{2r} \rho(u) du=1 $, perchè k qualche valore deve pure assumerlo: questo è l'analogo "continuo" dell'affermazione che la somma di tutte le probabilità di tutti i casi possibili deve essere 1.
A questo punto chiamiamo S la sfera e p(w,k) la probabilità di avere un triangolo acutangolo una volta che sappiamo che i tre punti cascano sulla circonferenza che corrisponde al punto w ed alla distanza k definite come sopra.
La probabilità che volete calcolare è $ \displaystyle \frac{\displaystyle \int_{w \in S} \int_{0}^{2r} \rho(k) p(w,k) dk dw}{4 \pi} $. Analizziamo la formula: voi volete sommare (cioè integrare, perchè siamo nel caso continuo) sulle possibili scelte di $ w $ sulla sfera; una volta fissato w, volete sommare (=integrare) su tutti i possibili valori che può assumere $ k $, pesati con la rispettiva probabilità $ \rho $, e quello che volete sommare è la probabilità che, fissati w e k, si ottenga un triangolo acutangolo, cioè $ p(w,k) $. Infine, volete dividere il tutto per la superficie della sfera (i "casi possibili" per w) .
Il punto fondamentale è ora che $ p(w,k)=\frac14 $ indipendentemente da $ w,k $ per la dimostrazione che avete fatto per la circonferenza (che, a proposito, funziona): ma allora gli integralozzi si riducono a
$ \displaystyle \frac{\displaystyle \int_{w \in S} \int_{0}^{2r} \rho(k) \frac14 dk dw}{4 \pi} = \frac14 \frac{\displaystyle \int_{w \in S} \int_{0}^{2r} \rho(k) dk dw}{4 \pi} = \frac14 \frac{\displaystyle \int_{w \in S} 1 dw}{4 \pi}=\frac{1}{4} $ perchè, pur non sapendo come sia fatta $ \rho $, di sicuro sappiamo che il suo integrale su tutto l'intervallo fa 1.
Sono consapevole che di tutto ciò si capirà davvero pochissimo, ma mi sentivo la coscienza sporca a lasciar morire la discussione su un risultato che credo sia sbagliato!
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