Dimostrativo 17 della fase provinciale di Febbraio 2011

[Markus93]

Salve!
Volevo chiedere chiarimenti riguardo a un dimostrativo della gara provinciale di quest'anno.
Ovviamente il mio modo di ragionare non può essere considerato giusto (spero almeno qualche punticino!), ma.. è del tutto sbagliato? Qualcuno mi saprebbe rispondere?

17. ESERCIZIO DIMOSTRATIVO
Sia n un intero positivo. Un treno ferma in 2n stazioni, incluse quella iniziale e finale, numerate in
ordine dalla prima alla 2n-esima. Si sa che in una certa carrozza, per ogni coppia di interi i, j tali
che 1 < i < j < 2n, `e stato prenotato esattamente un posto per il tragitto tra la stazione i-esima
e quella j-esima. Ovviamente prenotazioni diverse non possono sovrapporsi. Determinare, in
funzione di n, il numero minimo di posti che devono essere disponibili in quella carrozza affinch´e
la situazione descritta sia possibile.


Ho lavorato per gradi, notando all'inizio che, dalla prima stazione (i=1) ci devono essere almeno 2n-1 posti (per arrivare a j=2, j=3...j=2n).
Dalla seconda stazione (i=2), ci devono essere almeno 2n-2 posti (per arrivare a j=3...j=2n), che vanno teoricamente sommati a quelli precedenti. Un posto, però, si è liberato, cioè quello del viaggio che va da i=1 a j=2. quindi in totale vanno sommati (a quelli precedenti) 2n -2 -1 posti.
Dalla terza stazione (i=3), ci devono essere almeno 2n-3 posti, ai quali però devo togliere quello che si è liberato nel viaggio da i=1 a j=3 e quello da i=2 a j=3, quindi in totale sono 2n-3 -1 -1 (ECCO COSA HO SBAGLIATO! nella prova ho considerato, non so perchè, invece di 1 e 1, 1 e 2, i quali vanno via via aumentando come progressione aritmetica... che tristezza -.-'' ora continuo la dimostrazione sbagliata, magari in fondo alla pagina provo quella potenzialmente giusta).

Il numero di posti necessari è quindi la somma di tutti questi posti, cioè nella forma: 2n-i -(1+2+3...+(i-1))
La seconda parte può essere scritta come la somma dei numeri che vanno da 1 a i-1, cioè (i-1)(i-1+1)/2 cioè i(i-1)/2.
A quale valore di i fermarsi, mi sono chiesto. Qui sono andato un pò molto di intuizione generale, pensando che nel momento in cui la quantità sopracitata inizia a diventare negativa vuol dire che si stanno svuotando i posti, invece che essercene bisogno di altri. Quindi nel momento in cui 2n diventa minore di i+i(i-1)/2 allora non devo più aggiungere nessuna quantità. Questo valore è dato dalla risoluzione dell'equazione 2n=i+i(i-1)/2 la quale, essendo di secondo grado, dà una soluzione con radicali e simili, quindi impossibile da utilizzare.. ovviamente tra le due soluzioni ho considerato quella positiva. Giusto per concludere il discorso che avevo fatto e sperare in un miracolo, ho chiamato k l'intero più vicino (che ineffetti non ho specificato essere più piccolo o più grande, e che ineffetti non so tuttora dire come dovrebbe essere xD) alla soluzione di quell'equazione. Giungiamo quindi a quella che è stata la mia soluzione:
"SOMMATORIA di 2n - i - [i(i-1)]/2 PER i che va da 1 a k"

Ora, proviamo con l'accorgimento che ho appena notato:
In questo caso il numero di posti necessario è la somma di 2n-i -(i-1) cioè 2n-2i+1, con ultimo valore quello dato dall'equazione 2n=2i-1 cioè i=(2n+1)/2 (è comunque inutilizzabile per le mie conoscenze, ma è sicuramente più carino dell'altro xD).
Quindi la soluzione finale sarebbe:
"SOMMATORIA di 2n+1-2i PER i che va da 1 a (2n+1)/2"

..che ne dite?

[<enigma>]

Perché queste complicazioni? La via più semplice è dire che tra la $ i-1 $-esima e l'$ i $-esima stazione transitano $ i-1 $ persone che scendono all'$ i $-esima e $ (i-1)(2n-i) $ che vanno oltre, totale $ (i-1)(2n-i+1):=f(i) $, massimo per $ \frac d {d i} f(i) =0 $ che dà $ i=n+1 $ per $ n^2 $ posti (però forse alcuni metodi non li conosci). Comunque la dimostrazione è proprio bacata, già il risultato è sbagliato: $ \frac {2n+1} 2 $ non è mica intero. Se può confortarti un punticino o due potresti prenderli.

PS
$ \displaystyle \sum _{i=1} ^{(2n+1)/2} (2n+1-2i) $

Codice: Seleziona tutto

\displaystyle \sum _{i=1} ^{(2n+1)/2} (2n+1-2i)

PPS
Questo topic andrebbe in combinatoria. Qualcuno se ne occupi.

[Markus93]

Perché queste complicazioni? La via più semplice è dire che tra la $ i-1 $-esima e l'$ i $-esima stazione transitano $ i-1 $ persone che scendono all'$ i $-esima e $ (i-1)(2n-i) $ che vanno oltre, totale $ (i-1)(2n-i+1):=f(i) $, massimo per $ \frac d {d i} f(i) =0 $ che dà $ i=n+1 $ per $ n^2 $ posti (però forse alcuni metodi non li conosci). Comunque la dimostrazione è proprio bacata, già il risultato è sbagliato: $ \frac {2n+1} 2 $ non è mica intero. Se può confortarti un punticino o due potresti prenderli.

PS
$ \displaystyle \sum _{i=1} ^{(2n+1)/2} (2n+1-2i) $

Codice: Seleziona tutto

\displaystyle \sum _{i=1} ^{(2n+1)/2} (2n+1-2i)

PPS
Questo topic andrebbe in combinatoria. Qualcuno se ne occupi.

Sì, difatti non le conosco in ogni caso grazie di avermi detto la verità xD pensavo che in qualche modo avesse una sua logica! E scusami per la mancata giusta scrittura ma non ho mai usato il latex (o chicchessia).
Ah, e scusate per lo strafalcione della sezione xD