Dimostrativo 17 della fase provinciale di Febbraio 2011

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Markus93
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Dimostrativo 17 della fase provinciale di Febbraio 2011

Messaggio da Markus93 » 12 feb 2011, 20:18

Salve!
Volevo chiedere chiarimenti riguardo a un dimostrativo della gara provinciale di quest'anno.
Ovviamente il mio modo di ragionare non può essere considerato giusto (spero almeno qualche punticino!), ma.. è del tutto sbagliato? Qualcuno mi saprebbe rispondere?

17. ESERCIZIO DIMOSTRATIVO
Sia n un intero positivo. Un treno ferma in 2n stazioni, incluse quella iniziale e finale, numerate in
ordine dalla prima alla 2n-esima. Si sa che in una certa carrozza, per ogni coppia di interi i, j tali
che 1 < i < j < 2n, `e stato prenotato esattamente un posto per il tragitto tra la stazione i-esima
e quella j-esima. Ovviamente prenotazioni diverse non possono sovrapporsi. Determinare, in
funzione di n, il numero minimo di posti che devono essere disponibili in quella carrozza affinch´e
la situazione descritta sia possibile.


Ho lavorato per gradi, notando all'inizio che, dalla prima stazione (i=1) ci devono essere almeno 2n-1 posti (per arrivare a j=2, j=3...j=2n).
Dalla seconda stazione (i=2), ci devono essere almeno 2n-2 posti (per arrivare a j=3...j=2n), che vanno teoricamente sommati a quelli precedenti. Un posto, però, si è liberato, cioè quello del viaggio che va da i=1 a j=2. quindi in totale vanno sommati (a quelli precedenti) 2n -2 -1 posti.
Dalla terza stazione (i=3), ci devono essere almeno 2n-3 posti, ai quali però devo togliere quello che si è liberato nel viaggio da i=1 a j=3 e quello da i=2 a j=3, quindi in totale sono 2n-3 -1 -1 (ECCO COSA HO SBAGLIATO! nella prova ho considerato, non so perchè, invece di 1 e 1, 1 e 2, i quali vanno via via aumentando come progressione aritmetica... che tristezza -.-'' ora continuo la dimostrazione sbagliata, magari in fondo alla pagina provo quella potenzialmente giusta).

Il numero di posti necessari è quindi la somma di tutti questi posti, cioè nella forma: 2n-i -(1+2+3...+(i-1))
La seconda parte può essere scritta come la somma dei numeri che vanno da 1 a i-1, cioè (i-1)(i-1+1)/2 cioè i(i-1)/2.
A quale valore di i fermarsi, mi sono chiesto. Qui sono andato un pò molto di intuizione generale, pensando che nel momento in cui la quantità sopracitata inizia a diventare negativa vuol dire che si stanno svuotando i posti, invece che essercene bisogno di altri. Quindi nel momento in cui 2n diventa minore di i+i(i-1)/2 allora non devo più aggiungere nessuna quantità. Questo valore è dato dalla risoluzione dell'equazione 2n=i+i(i-1)/2 la quale, essendo di secondo grado, dà una soluzione con radicali e simili, quindi impossibile da utilizzare.. ovviamente tra le due soluzioni ho considerato quella positiva. Giusto per concludere il discorso che avevo fatto e sperare in un miracolo, ho chiamato k l'intero più vicino (che ineffetti non ho specificato essere più piccolo o più grande, e che ineffetti non so tuttora dire come dovrebbe essere xD) alla soluzione di quell'equazione. Giungiamo quindi a quella che è stata la mia soluzione:
"SOMMATORIA di 2n - i - [i(i-1)]/2 PER i che va da 1 a k"

Ora, proviamo con l'accorgimento che ho appena notato:
In questo caso il numero di posti necessario è la somma di 2n-i -(i-1) cioè 2n-2i+1, con ultimo valore quello dato dall'equazione 2n=2i-1 cioè i=(2n+1)/2 (è comunque inutilizzabile per le mie conoscenze, ma è sicuramente più carino dell'altro xD).
Quindi la soluzione finale sarebbe:
"SOMMATORIA di 2n+1-2i PER i che va da 1 a (2n+1)/2"

..che ne dite?
Markus

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<enigma>
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Re: Dimostrativo 17 della fase provinciale di Febbraio 2011

Messaggio da <enigma> » 12 feb 2011, 21:12

Perché queste complicazioni? La via più semplice è dire che tra la $ i-1 $-esima e l'$ i $-esima stazione transitano $ i-1 $ persone che scendono all'$ i $-esima e $ (i-1)(2n-i) $ che vanno oltre, totale $ (i-1)(2n-i+1):=f(i) $, massimo per $ \frac d {d i} f(i) =0 $ che dà $ i=n+1 $ per $ n^2 $ posti (però forse alcuni metodi non li conosci). Comunque la dimostrazione è proprio bacata, già il risultato è sbagliato: $ \frac {2n+1} 2 $ non è mica intero. Se può confortarti un punticino o due potresti prenderli.

PS
$ \displaystyle \sum _{i=1} ^{(2n+1)/2} (2n+1-2i) $

Codice: Seleziona tutto

\displaystyle \sum _{i=1} ^{(2n+1)/2} (2n+1-2i)
PPS
Questo topic andrebbe in combinatoria. Qualcuno se ne occupi.
"Quello lì pubblica come un riccio!" (G.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)

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Markus93
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Re: Dimostrativo 17 della fase provinciale di Febbraio 2011

Messaggio da Markus93 » 13 feb 2011, 01:29

<enigma> ha scritto:Perché queste complicazioni? La via più semplice è dire che tra la $ i-1 $-esima e l'$ i $-esima stazione transitano $ i-1 $ persone che scendono all'$ i $-esima e $ (i-1)(2n-i) $ che vanno oltre, totale $ (i-1)(2n-i+1):=f(i) $, massimo per $ \frac d {d i} f(i) =0 $ che dà $ i=n+1 $ per $ n^2 $ posti (però forse alcuni metodi non li conosci). Comunque la dimostrazione è proprio bacata, già il risultato è sbagliato: $ \frac {2n+1} 2 $ non è mica intero. Se può confortarti un punticino o due potresti prenderli.

PS
$ \displaystyle \sum _{i=1} ^{(2n+1)/2} (2n+1-2i) $

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\displaystyle \sum _{i=1} ^{(2n+1)/2} (2n+1-2i)
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Sì, difatti non le conosco :( in ogni caso grazie di avermi detto la verità xD pensavo che in qualche modo avesse una sua logica! E scusami per la mancata giusta scrittura ma non ho mai usato il latex (o chicchessia).
Ah, e scusate per lo strafalcione della sezione xD
Markus

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