Il treno di febbraio.

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Claudio.
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Il treno di febbraio.

Messaggio da Claudio. » 12 feb 2011, 15:01

Non ho ben capito perchè nelle soluzioni fa tutta quella fatica per trovare le reali disposizione per dimostrare che il numero è sufficiente e necessario, non basta semplicemente il ragionamento iniziale?
Mi spiego meglio:
In un qualsiasi tragitto dalla stazione $a$ alla $a+1$ sul treno ci saranno tante persone quanti sono i modi di accoppiare una stazione prima di $a$(essa compresa) con uno dopo di $a$ cioè $a(2n-a)$.
Adesso questo è un prodotto di due fattori la cui somma è costante e cioè $a+2n-a=2n$, il massimo di ottiene quindi quanto i due fattori sono uguali cioè $a=n$ quindi il massimo di persone che ci può essere contemporaneamente sul treno è $n^2$, quindi questo valore è sicuramente sufficiente, ma è anche necessario proprio perchè nel tragitto dalla stazione $n$ alla $n+1$ ci sarà proprio quel numero di persone.

Cosa non va?

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phi
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Re: Il treno di febbraio.

Messaggio da phi » 12 feb 2011, 15:57

Hai letto la parte finale della soluzione ufficiale, quella "alternativa"?
Quello che dice (con un po' più di parole di così) è precisamente che, con $ n^2 $ posti, ad ogni stazione chi sale troverà da sedersi, perché i passeggeri non sono mai più di $ n^2 $; e questo lo giustifica, anziché con la tua AM-GM che non dichiari, fattorizzando la stessa tua espressione e concludendo con "quadrato maggiore o uguale a zero".

Claudio.
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Re: Il treno di febbraio.

Messaggio da Claudio. » 12 feb 2011, 16:30

Sinceramente non l'avevo vista :D Grazie.
Comunque invito a postare soluzioni alternative se ne avete, ne metto io un'altra con meno idee:
Ad ogni stazione $k$ abbiamo che saliranno tante persone quante sono le stazioni dopo $k$ cioè $2n-k$ e ne scenderanno tante quante sono le stazioni prima di $k$ quindi in totale saliranno $2n-k-(k-1)=2n-2k+1$.Si nota facilemente che per $k\le n$ la quantità sarà positiva cioè saliranno più persone di quante ne scendono, per $k>n$ invece succederà il contrario, abbiamo quindi che il massimo di persone presenti contemporaneamente nel treno si avrà alla partenza dall'n-esima stazione. La quantità di persone presenti sul treno alla partenza da una stazione $a$ sarà il numero di tutte le persone che sono salite durante il viaggio dalla stazion $1$ alla $a$ meno quelle che sono scese cioè $\displaystyle \sum_{k=1}^a2n-2k+1$ che per $a=n: 2n^2-2(\frac{n(n+1)}2)+n=n^2$.

Veluca
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Re: Il treno di febbraio.

Messaggio da Veluca » 13 feb 2011, 23:34

Claudio. ha scritto:Sinceramente non l'avevo vista :D Grazie.
Comunque invito a postare soluzioni alternative se ne avete, ne metto io un'altra con meno idee:
Ad ogni stazione $k$ abbiamo che saliranno tante persone quante sono le stazioni dopo $k$ cioè $2n-k$ e ne scenderanno tante quante sono le stazioni prima di $k$ quindi in totale saliranno $2n-k-(k-1)=2n-2k+1$.Si nota facilemente che per $k\le n$ la quantità sarà positiva cioè saliranno più persone di quante ne scendono, per $k>n$ invece succederà il contrario, abbiamo quindi che il massimo di persone presenti contemporaneamente nel treno si avrà alla partenza dall'n-esima stazione. La quantità di persone presenti sul treno alla partenza da una stazione $a$ sarà il numero di tutte le persone che sono salite durante il viaggio dalla stazion $1$ alla $a$ meno quelle che sono scese cioè $\displaystyle \sum_{k=1}^a2n-2k+1$ che per $a=n: 2n^2-2(\frac{n(n+1)}2)+n=n^2$.
La mia! xD

the_save
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Re: Il treno di febbraio.

Messaggio da the_save » 14 feb 2011, 18:34

veluca ha scritto:La mia! xD
Anche la mia :lol:

staffo
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Re: Il treno di febbraio.

Messaggio da staffo » 14 feb 2011, 18:39

the_save ha scritto:
veluca ha scritto:La mia! xD
Anche la mia :lol:
e allora visto che siamo in vena quoto pure io xd
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Claudio.
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Re: Il treno di febbraio.

Messaggio da Claudio. » 14 feb 2011, 18:40

Purtroppo non la mia :oops:

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