Rette e stuzzicadenti

[amatrix92]

Si considerino in un piano infinite rette parallele distanti l'una dall'altra $ \frac{l}{2} $. Lascio cadere sul piano uno stuzzicadenti di lunghezza $ l $. Qual'è il valore della probabilità che questo non si corichi sopra nessuna retta?

P.s: non ero certo se postarlo qui o in mne. Nel caso qualche moderatore può spostare.

[Anér]

Il problema fondamentale è che non viene specificato cosa si debba intendere per probabilità, ossia con quale modello bisogna matematizzare il problema che è stato posto solo in italiano, o in termini più semplici non è chiaro come funziona la probabilità. Propongo allora di mettere le seguenti regole, che dovrebbero bastare:
1)Piazziamo un bel sistema di assi cartesiani scegliendo come asse x una delle rette parallele e come asse y una perpendicolare. Diciamo che due punti del piano sono equivalenti se le loro ordinate differiscono per multipli di l/2 (moralmente questo significa che sono alla stessa distanza dalla retta immediatamente sotto di loro). Allora il segmento di estremi A(0;0) e B(0, l/2) contiene un rappresentante per ogni classe di equivalenza (in effetti gli estremi sono nella stessa classe, ma questo non creerà grossi problemi). Ora se prendiamo un qualsiasi segmento CD contenuto in AB e chiamo k la sua lunghezza, postulo che il centro G dello stuzzicadenti ha probabilità di capitare in un punto equivalente a un punto di CD pari a 2k/l (ossia la probabilità che G abbia distanza dalla prima retta sottostante compresa tra i valori delle ordinate di C e D è k/(l/2)).
2) Chiamiamo inclinazione m di una retta il suo coefficiente angolare; allora preso un intervallo I contenuto in $ (-\pi/2; \pi/2) $ e detta i la sua lunghezza, postulo che la probabilità che l'inclinazione dello stuzzicadenti abbia come arcotangente un valore contenuto in I è pari a $ i/\pi $ (questo significa in sostanza che se scelgo un angolo di ampiezza i con vertice in G, la probabilità che lo stuzzicadenti sia contenuto in quell'angolo unito al suo opposto al vertice è $ i/\pi $.
Penso che questo basti a stabilire come funziona la probabilità (ma invito gente più esperta di me a smentirmi).
Va bene questo modello o tu ne avevi in mente un altro?

[amatrix92]

Ok l'impostazione generale è la stessa che avevo in mente io anche se assolutamente non così rigorosa. Posso chiederti perchè a tuo avviso è necessaria questa.. (non so bene come chiamarla) diciamo matematizzazione per poter "funzionare la probabilità". La formalizzazione del problema in termini matematici la definirei più una parte della soluzione, ma a quanto mi è parso di capire tu la intendi come un rendere chiara e "matematica" la domanda. Io ho pensato, partendo dal testo iniziale questo stuzzicadenti potrà o toccare o una o più rette, oppure non toccarne alcuna. Questi 2 eventi avranno la loro rispettiva probabilità. Il fatto di separare l'angolo di inclinazione dello stuzzicadenti dalla sua distanza dalle rette più prossime ad esso a mio avviso è l'inizio della soluzione. Visto che poni la domanda:

con quale modello bisogna matematizzare il problema che è stato posto solo in italiano

che altri modelli intendi? e un ultima cosa che non ho capito, cosa intendi con questa frase

Allora il segmento di estremi A(0;0) e B(0, l/2) contiene un rappresentante per ogni classe di equivalenza

. Se il tuo invece era un abbozzo di inizio di una soluzione, allora continua pure perchè come inizio è corretto.

[Il_Russo]

Il guaio è che la probabilità ha bisogno di essere formalizzata bene per poterci fare qualcosa di sensato, soprattutto se l'insieme dei possibili esiti è infinito. Quindi ci serve:

Un insieme di esiti; il primo pensiero ingenuo per questo caso è che gli esiti sono i modi in cui la bacchetta può cadere sul pavimento, ma dopo vedremo quali problemi genera;

Un po' di sottoinsiemi dell'insieme degli esiti che chiami eventi. Gli eventi non devono necessariamente essere (e anzi, in alcuni casi di esiti più che numerabili, tra cui quello in esame, devono necessariamente non essere) tutti i possibili sottoinsiemi degli esiti, ma devono rispettare alcune ragionevoli proprietà: ad esempio c'è sempre l'evento vuoto, l'evento fatto da tutti i possibili esiti, l'unione e l'intersezione (finita o numerabile) di eventi è un evento, il complementare di un evento è un evento.

Ciò cui si assegna la probabilità sono gli eventi; anche la probabilità deve rispettare alcune ragionevoli proprietà tra cui che la probabilità dell'evento vuoto è $0$, la probabilità dell'evento "tutto" è $1$, la probabilità del complementare è $1-probabilità \; dell'originale$, la probabilità di un'unione disgiunta (finita o numerabile) è la somma delle probabilità.

E ora passiamo ai guai. Scegliamo gli esiti ingenuamente come ho detto prima. Possiamo suddividere il piano in strisce come nel problema, decidendo a quale striscia appartiene ogni confine tra due di esse, e costruire l'insieme degli eventi in modo che ci siano tutti gli eventi del tipo: "fissata una striscia, lo stuzzicadenti cade col centro in quella striscia". Ti aspetteresti che tutti questi eventi abbiano la stessa probabilità, ma non è così. Le strisce sono infinite numerabili e riscoprono il piano; allora la probabilità che lo stuzzicadenti cada sul pavimento da qualche parte, ossia l'evento tutto, deve essere la somma di tutte queste infinite (uguali) probabilità ma anche 1 per definizione; se la probabilità di ogni striscia è non nulla, la somma viene infinita, se è nulla, la somma viene 0. Quindi puoi anche scegliere come l'insieme degli esiti ogni possibile modo in cui cade lo stuzzicadenti, ma devi ammettere che è più probabile che cada in certe zone del pavimento che non in altre, puoi ancora costruire la probabilità a tuo arbitrio, ma non sarà la soluzione a ciò che il problema voleva chiedere; dobbiamo allora cercare un'altra strada (=altro insieme degli esiti).
Quella proposta da Anér mi sembra buona; la riscrivo [sarà poi la stessa? D.d.A]. Innanzitutto, se le strisce sono tutte uguali per noi possiamo decidere che il centro capiterà su una striscia fissata; essendo poi le trasversali perpendicolari alle strisce per noi tutte uguali, possiamo decidere che capiterà su una fissata. L'insieme degli esiti sarà allora $\{un \; segmento \; trasversale \; ad \; una \; striscia\} \times \{angoli \; che \; il \; bastoncino \; forma \; col \; segmento\}$. Possiamo pensarlo come un rettangolino; un lato è il segmento; l'altro è lungo $\pi$ e contiene l'informazione sugli angoli. La probabilità di un evento sarà ora il rapporto tra l'area occupata da quell'evento nel rettangolino e l'area del rettangolino. Cerca ora qual'è l'evento che corrisponde alla richiesta del problema ed hai vinto.

[Anér]

Sì, era proprio così che volevo fare. Come si scioglie d.d.A.?

[Il_Russo]

D.d.A = Dubbio dell'Autore; in analogia con N.d.A.

[staffo]

1) chiamo $ x $ la distanza tra il centro dello stuzzicadente e la retta più vicina; quindi $ 0<x<\frac{l}{4} $, ed ogni valore è equiprobabile;
chiamo $ \theta $ l'angolo formato tra lo ztuzzicadente e la retta; quindi $ 0<\theta<\frac{\pi}{2} $, ed ogni valore è equiprobabile;
devo dunque trovare quando $ x<\frac{l}{2}\cdot \sin(\theta) $, quindi chiamo $ A:\{x<\frac{l}{2}\cdot \sin(\theta)\} $ e $ \bar{A}:\{x>\frac{l}{2}\cdot \sin(\theta)\} $;
devo dunque trovare $ \frac{A}{A\cup\bar{A}} $.

2)ora, se io rappresento il grafico $ f(\theta)=\frac{l}{2}\cdot\sin{\theta} $, se prendo una $ x>f(\theta) $ avrò l'evento favorevole; siccome la x la devo prendere al di sotto di $ \frac{l}{4} $, devo calcolare l'area tra questa retta e la funzione e l'area sottesa alla funzione; siccome in $ \frac{\pi}{6} $ la fuinzione si interseca con la retta, avrò che l'area dell'evento sfavorevole sarà l'area sottesa alla funzione fino a $ \frac{\pi}{6} $ più l'area $ (\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6})\frac{l}{4} $
3)calcoliamo sta probabilità (spero di non fare errori con gli integrali che non sono molto capace):
$ \displaystyle\frac{\frac{\pi}{2}\cdot\frac{l}{4}-(\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac {l}{2}\cdot sin(\theta) d\theta+(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6})\frac{l}{4})}{\frac{\pi}{2}\cdot\frac{l}{4}} $
ed è uguale a $ \displaystyle 1-\frac{12-6\sqrt{3}+2\pi}{3\pi} $;


EDIT: EDIT: ho corretto, ora è con distanza l/4 come da testo